柯西中值定理问题

Question

试证至少存在一个点x∈(1,e),使得sin1=cosInx
对于柯西中值定理有点模糊，所以请给出完整步骤，不要用其他方法，利用这条定理解题

Answer 1

柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b)) 则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立 解：设f(x)=sinlnx，g(x)=lnxf(x),g(x)在[1,e]上连续，在（1，e)上可导，g'(x)≠0(x∈(1,e),根据柯西中值定理，至少存在一点x∈（1，e)使f'(x)/g'(x)=[f(e)-f(1)]/[g(e)-g(1)]成立f'(x)=coslnx/x ,g'(x)=1/x, 带入化简即得sin1=coslnx