为什么在x=0处函数y=| x|不可导？

Question

如题所述

Answer 1

当函数的绝对值含有分段定义时，我们需要分别讨论各个分段的可导性。对于函数 y = |x|，在 x = 0 处不可导的原因是函数在该点的左导数和右导数不相等。
在 x > 0 的区间内，函数 y = |x| 实际上是 y = x 的图像，因为在这个范围内，|x| 和 x 的值是相等的。对于 x > 0，y = |x| 的导数等于 1，因为 x 的导数是 1。
在 x < 0 的区间内，函数 y = |x| 实际上是 y = -x 的图像，因为在这个范围内，|x| 和 -x 的值是相等的。对于 x < 0，y = |x| 的导数等于 -1，因为 -x 的导数是 -1。
然而，在 x = 0 的点，我们无法找到一个唯一的切线来定义函数的导数。在 x = 0 时，函数 y = |x| 的图像在原点处形成一个尖点，没有唯一的切线。左侧的导数为 -1，右侧的导数为 1，因此左导数和右导数不相等，导致在 x = 0 处不可导。
在不可导的点，函数的导数不存在或不唯一。这意味着在 x = 0 处，y = |x| 的导数不存在，所以在该点不可导。