线性代数求教，证明题

Question

如题所述

Answer 1

8. 【解法一】由A^3 = 2E可得：
A可逆，而且A的逆矩阵A^{-1} = 二分之一A^2,
(A+E)可逆，而且(A+E)的逆矩阵(A+E)^{-1} = 三分之一(A^2 - A + E),
(2E - A)可逆，而且(2E - A)的逆矩阵(2E - A)^{-1} = 六分之一(A^2 + 2A + 4E),
B = A^2 + 2A - 2E = A^2 + 2A - A^3 = A(A + 2E - A^2) = A(A+E)(2E - A)可逆，
而且B的逆B^{-1} = [A(A+E)(2E - A)]^{-1} = (2E - A)^{-1}(A+E)^{-1}A^{-1}
= 六分之一(A^2 + 2A + 4E) 乘以 三分之一(A^2 - A + E) 乘以 二分之一A^2
= 三十六分之一(A^6 + A^5 + 3A^4 - 2A^3 + 4A^2)
= 三十六分之一(4E + 2A^2 + 6A - 4E + 4A^2) = 六分之一(A^2 + A).
【解法二】由A^3 = 2E可得：
B(A^2 + A) = (A^2 + 2A - 2E)(A^2 + A) = A^4 + 3A^3 - 2A = 6E，
故B可逆，而且B的逆B^{-1} = 六分之一(A^2 + A).
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1. 【提示】
左乘一个初等矩阵 相当于 进行一次相应的初等行变换；
右乘一个初等矩阵 相当于 进行一次相应的初等列变换。
【答案】
a_{13} a_{12} a_{11}
a_{23} a_{22} a_{21}
a_{33}+200a_{13} a_{32}+200a_{12} a_{31}+200a_{11}
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20. 【证明】
设r(A) = r, r(B) = s，|M|为A中的一个r阶非零子式，|N|为B中的一个s阶非零子式，
则题中的分块矩阵
A C
O B
有一个r+s阶非零子式
|M * |
|O N |
= |M||N|,
故r(...) 大于或等于 r+s = r(A) + r(B).