已知行列式求x3的系数

Question

求行列式 x^3系数
|x 1 2 x|
|-1 0 x 4|
|5 x 2 1|
|x 0 0 2|
为什么说a11a23a32a44四个元素相乘时才有x^3?a44不是2吗?还有前边的系数-2如何计算?
答案是-2x^3

Answer 1

由定义，行列式的项由【不同行且不同列】的元素乘积组成，所以一个行列式的项中【不可能】既含有a33又含有a43(因为它们在同一列）。

所以，该行列式中和x^3有关的项为a11a22a33a44和-a11a22a34a43(其它的都是x的低次幂）（由逆序数的计算可得出它们应取的正负）。

a44x^3-a34*(2x^3)=x^3-2x^3=-x^3

所以，行列式中x^3的系数为-1 。

扩展资料：

行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

设a为某数，n为正整数，a的n次方表示为a，表示n个a连乘所得之结果，如2t=2×2×2×2=16。次方的定义还可以扩展到0次方和负数次方等等。

行列式中有x的元素是a11、a12、a22、a33、a44 ，其中任选三个的组合有C(5,3)=10个：a11a12a22、a11a12a33、a11a12a44、a11a22a33、a11a22a44、a11a33a44、a12a22a33、a12a22a44、a12a33a44、a22a33a44

而能够组成x^3项的只有 a12a33a44 一个组合，其它的要么有同行、同列元素，要么只能组成四次方项。

所以三次方项应该是 [(-1)^N(2134)]a12a21a33a44

=-(2)*x*x*x

=-2x^3

即 x^3 的系数为-2 。

Answer 2

这是由行列式的定义得到的
行列式定义中的n!项中的每一项是由位于不同行不同列的元素的乘积构成
所以只有a11a23a32a44四个元素相乘时才有x^3 (观察哈)
每项的正负由列标排列的逆序数的奇偶性确定
t(1324) = 1,故1324是奇排列,此项为负
所以答案是 (-1)^t(1324) x*x*x*2 = -2x^3
x^3系数为 -2.