fx=arctanx的在x=0处的n阶导用莱布尼茨公式怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

y'=1/(1+x^2)
(1+x^2)y'=1
两边同时求n-1阶导数，
(1+x^2)·y(n)+(n-1)·2x·y(n-1)+(n-1)(n-2)/2·2·y(n-2)=0
代入x=0可得，
y(n)=-(n-1)(n-2)·y(n-2)
然后根据
y=0
y'=1
以及递推公式，可得
y''=0
y'''=-2=-2!
y(4)=0
y(5)=4!
……
然后可以归纳出通项公式。追问

莱布尼茨还要加数学归纳，感觉这类方法挺麻烦的，是不是大多这类求n阶导的题目用级数方便一些？

追答

yes

Answer 2

y'=1/(1+x^2)
(1+x^2)y'=1
两边同时求n-1阶导数，
(1+x^2)·y(n)+(n-1)·2x·y(n-1)+(n-1)(n-2)/2·2·y(n-2)=0
代入x=0可得，
y(n)=-(n-1)(n-2)·y(n-2)
然后根据
y=0
y'=1
以及递推公式，可得
y''=0
y'''=-2=-2!
y(4)=0
y(5)=4!