已知函数f(x)＝lg1?x1+x．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并指出函数f

Question

已知函数f(x)＝lg1?x1+x．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并指出函数f（x）的单调性（单调性不需证明）．

Answer 1

（1）由题意得 

1?x

1+x

＞0解得-1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}
∵

1?x

1+x

＝

?x?1+2

1+x

＝

2

1+x

?1
又-1＜x＜1
∴0＜x+1＜2，

2

1+x

＞1，

2

1+x

?1＞0，
∴lg(

2

1+x

?1)∈R
∴函数f（x）的值域为R
（2）对?x∈{x|-1＜x＜1}都有
f(?x)＝lg

1+x

1?x

＝?lg

1?x

1+x

＝?f(x)
∴f（x）为奇函数
∵令t=

1?x

1+x

＝

?x?1+2

1+x

＝

2

1+x

?1在（-1，1）递减
∵y=lgt在定义域上为增函数
∴f(x)＝lg

1?x

1+x

在（-1，1）递减