已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，当x∈[0，4]时，f(...

Question

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，当x∈[0，4]时，f(x)=2|x-m|+n，且f(2)=6. (1)求m，n的值; (2)当x∈[0，4]时，关于x的方程f(x)-a•2x=0有解，求a的取值范围.

Answer 1

解答:解:(1)由已知f(0)=f(4)，
可得2|m|+n=2|4-m|+n，
∴|m|=|4-m|，
∴m=2
又由f(2)=6可知2|2-2|+n=6，
∴n=5
(2)方程即为2|x-2|+5=m×2x在[0，4]有解.
当x∈[0，2]时，22-x+5=m×2x⇒m=
4
(2x)2
+
5
2x
，
令(
1
2
)x=t∈[
1
4
，1]
则m=4t2+5t在[
1
4
，1]单增，
∴m∈[
3
2
，9]
当x∈(2，4]时，2x-2+5=m×2x⇒m=
1
4
+5×
1
2x
，
令(
1
2
)x=t∈[
1
16
，
1
4
)
则m=
1
4
+5t，
∴m∈[
9
16
，
3
2
)
综上:m∈[
9
16
，9]