线代特征值与特征向量证明题

Question

题目如图，不好手打。【对分块矩阵不太了解，一个分块矩阵求行列式的值可以直接用对角线上的矩阵相乘再相减吗】

Answer 1

先约定一下记号:
用'表示转置, Ek表示k阶单位矩阵, 不写下标时表示m+n阶单位阵,
矩阵分块表示为[M,N;P,Q], 其中M, Q分别为m阶和n阶方阵,
列向量相应分块为[X;Y], 其中X, Y分别属于R^m, R^n.
题目叙述为: 若对m×n矩阵A, λ为B = [0,A;A',0]的非零特征值, 则λ²为A'A的特征值.

证法一:
设Z = [X;Y]是B的属于特征值λ的特征向量, 即有BZ = λZ且Z ≠ 0.
由分块乘法知BZ = [0,A;A',0][X;Y] = [AY;A'X].
得AY = λX, A'X = λY, 有A'AY = A'(λX) = λA'X = λ²Y.
而若Y = 0, 由AY = λX及λ ≠ 0, 有X = 0, 进而Z = [X;Y] = 0, 矛盾.
因此Y ≠ 0, 又A'AY = λ²Y, 故Y是A'A的特征向量, λ²是A'A的特征值, 证毕.

证法二:
设C = λE-B = [λEm,-A;-A',λEn], 由λ为B的特征值, 有|C| = |λE-B| = 0.
由λ ≠ 0, 可取分块初等矩阵S = [Em,0;A'/λ,En].
S作为分块下三角矩阵, 可得|S| = |Em|·|En| = 1.
由分块乘法知SC = [λEm,-A;0,λEn-A'A/λ], 是分块下三角矩阵.
有|SC| = |λEm|·|λEn-A'A/λ| = λ^(m-n)·|λ²En-A'A|.
另一方面, |SC| = |S|·|C| = |C| = 0, 而λ ≠ 0, 故|λ²En-A'A| = 0.
即λ²是A'A的特征值, 证毕.

注: 一般分块矩阵的行列式不能直接分块计算, 只能想办法化为分块上(下)三角矩阵来计算.
不过可以证明: 若A, B, C, D都是n阶方阵, 并满足AC = CA, 则|[A,B;C,D]| = |AD-CB|.
证明先从A可逆的情况入手, 用分块初等变换化为分块上三角矩阵计算, 并用条件AC = CA.
对于A不可逆的情况, 先用可逆时的结论证明:
|[A+xE,B;C,D]| = |(A+xE)D-CB|是关于x的恒等式 (左右之差作为关于x的多项式有无穷多个零点),
再取x = 0即得结论 (细节略, 有兴趣的话自己证一下).
实际上只需A或D与B或C可交换, 就能得到类似的结论, 不过形式上稍有区别.
例如AB = BA时成立|[A,B;C,D]| = |DA-CB|.