【急】求两道高中数学的函数题

Question

1.已知函数fx=1-2a^x-a^2x（a>1）
1>求函数fx的值域
2>若x∈[-2，1]时，函数fx的最小值为-7，求a的值及函数fx的最大值

2.已知函数fx=ax+1/a（1-x）（a>0），且fx在[0,1]上的最小值为gx，求gx的最大值

要求过程，谢谢
题目绝对没抄错···

Answer 1

1、
（1）设a^x=t,则t＞0，y=-t²-2t+1=-(t+1)²+2.
当t=0时，y=1，故值域(-∞，1).
（2）若x∈[-2，1]，则1/a²≤a^x≤a，
即1/a²≤t≤a，
当t=a即x=1时，最小值-a²-2a+1=-7，解得
a=2，故y=-t²-2t+1,(t=2^x)
当2^x=1/4即x=-2时，最大值=7/16.

2、f(x)=ax+1/a（1-x)=[(a²-1)x/a]+（1/a）,

当a＞1时，函数递增，最小值是x=0时1/a,此时最小值1/a∈(0,1)；

当0＜a＜1时，函数递减，最小值是x=1时a。此时最小值a∈(0,1)；

当a=1时，f(x)=1.函数值恒等于1.

综上，最大值1.

Answer 2

第一题。 1，令t= a^x，a>1,可以求得t>0,
f(t)=1-2t-t^2
=-（t+1)^2 +2
显然f（t） 在[-1,+∞)上为减函数，所以 f（t）<1
故f（t）值域为（-∞，1），
从而f（x） 值域为（-∞，1）。
2，利用第一问的部分结论，可知，x∈[-2，1]时，函数fx的最小值为f（1)=-7,求解关于a的方程 得 a=2（a=-4舍去）函数最大值为f（-2）=7/16

第二题 楼主可以利用导数 f（x)'=a- 1/[a *(1-x）^2]
（0<=x<=1,a>0),利用极值判断规则 可知f(x) 的极大值点为x= 1- 1/a ,极小值点x=1+1/a (它不在区间[0,1]上，可以不考虑它对g（a）的影响）。
1》，当 1- 1/a <=0 时，0<a<=1,借助函数单调性 可以求出 最小值 为g（a）=f（1），晕x=1 无定义

楼主这个题目的相似题高三的时候我做过4，5次，它就考的求导运算 和分类讨论 可我怎么越做越奇怪，题目是不是抄错了啊？

Answer 3

1、令a^x=t,因为a>1则t的值域为（0,+∞）,那么fx=-t^2-t+1=-(t+1)^2+2 因为t的值域为（0,+∞),所以fx的值域为（-∞，1）
2、因为x∈[-2，1]且a>1,所以t的值域为(1/a^2,a),因为原函数fx=-(t+1)^2+2，故当取t=a时，函数值最小，把t=a代入可得a=2；那么t的值域为（1/4,2）,当函数fx取最大值时,t=1/4,此时fx=7/16
3、1-x在下面?

Answer 4

1.
1>令a^x=t,fx=-(t-1)^2+1,fx值域（-∞，1]
2>fx关于t的函数是先增后减函数，而x取0时，函数最大值，在[-2，1]区间内，所以在区间内当x=-2或1时为最小值，分别代进去，得：a=(8^0.5/7-1/7)^0.5或
1-8^0.5或8^0.5+1，fx最大值为1

2.均值不等式：ax+1/a（1-x）大于等于2(x/1-x)^0.5,要使上式成立也就是ax+1/a（1-x）可以等于2(x/1-x)^0.5，就得使ax=1/a（1-x）成立，在[0,1]区间内可取到，所以可成立，所以2(x/1-x)^0.5为最小值为gx
在[0,1]区间中，gx=2(x/1-x)^0.5最大值趋向无穷
我感觉题目应该是取gx的最小值吧，最小值是0，x也取0

Answer 5

1.令t = a^x,所以t＞0,则g(t) = -t^2 - 2t + 1,当t＞0时，g(t)＜1，即f（x）的值域为（-∞，1）.
当x∈[-2，1]时，t∈[a^-2，a]，因为g(t)在t＞0上单调递减，所以g(a) = -7，因为a>1，所以a = 2， f（x）的最大值为g(a^-2) = 7/16.

2.f(1)有意义吗?