求下列函数的值域，要过程

Question

1，y=根号下（x^2+5)
2，y=x^2-4x+6，x∈[1，5）
3，y=(2x^2-x+2)/（x^2+x+1)
4，y=2x-根号（x-1)
5,y=(2x+1)/(3x+5)

Answer 1

答：

1，y=根号下（x^2+5)
y=√(x^2+5)>=√(0+5)=√5
值域为[√5，+无穷）

2，y=x^2-4x+6，x∈[1，5）
y=(x-2)^2+2
x=2时最小值为2
x=5时，最大值为9+2=11
所以：值域为[2，11)

3，y=(2x^2-x+2)/（x^2+x+1)
根据判别式可以知道，分子分母恒大于0
所以：y>0
整理得：yx^2+yx+y=2x^2-x+2
所以：(y-2)x^2+(y+1)x+y-2=0恒有解
判别式=(y+1)^2-4(y-2)(y-2)>=0
y^2+2y+1-4y^2+16y-16>=0
y^2-6y+5<=0
(y-1)(y-5)<=0
解得：1<=y<=5
值域为 [1,5]

4，y=2x-根号（x-1)
y=2x-√(x-1)
y=2(x-1)-√(x-1)+2
y=2*[√(x-1) -1/4]^2+15/8>=0+15/8
值域为[ 15/8，+∞）

5,y=(2x+1)/(3x+5)

y=(2/3)*(x+1/2) / (x+5/3)
y=(2/3)*(x+5/3-7/6) /(x+5/3)
y=(2/3)*[ 1-(7/6) /(x+5/3) ]
y=2/3 -(7/9) /(x+5/3)
所以：y≠2/3
值域为（-∞，2/3）∪（2/3，+∞）

Answer 2

1、x²≥0，x²+5≥5，开方≥√5
2、对称轴x=2，所以x=2时取最小值y=2，x=5时取最大值y=11，所以x∈【2，,11）
3、原式化为：
当x≠2时：2-3/[（x+1/x）+1],因（x+1/x）≥2或者（x+1/x）≤-2，
所以当（x+1/x）≥2时，（x+1/x）+1≥3，0＜1/[（x+1/x）+1]≤1/3，-1≤-3/[（x+1/x）+1]＜0，1≤原式＜2
同理，当（x+1/x）≤-2时，2＜原式≤5
当x=2时，y=2
所以值域【1,2）U（2，5]U（2）=【1,5】
4、设√（x-1）=m，则m≥0，且x=m²+1
原式化为：y=2（m²+1）-m=2m²-m+2，根据抛物线可知，值域为【15/8,正无穷）
5、原式可化为：y=2/3 -(7/9) /(x+5/3)
所以：y≠2/3
值域为（负无穷，2/3）∪（2/3，正无穷）

Answer 3

(2)配方：
y=(x+1)^2-4
对称轴为x=-1开口朝上
∵x∈[1,2] ∴函数为增函数
∴x=1时，ymin=0
x=2时，ymax=5
函数值域为[0,5]

(3)
y=[3(x+1)-3-1]/(x+1)
=3-4/(x+1)
∵4/(x+1)可取得非0的任意实数
∴3-4/(x+1)可取遍非3的所有实数
∴函数值域为{y|y≠3}

Answer 4

1. ∵x^2+5∈[5，+∞），∴y∈[根号下5，+∞）
2. ∵y=(x-2)^2+2,∴y∈[6,11)