如何证明两个向量组等价

Question

如题所述

Answer 1

要证明两个向量组等价，需要验证它们是否满足以下条件之一：
1. 相互包含：如果两个向量组的每个向量都可以由另一个向量组的线性组合表示，那么它们是等价的。具体而言，设向量组A={a₁, a₂, ..., aₙ}和向量组B={b₁, b₂, ..., bₘ}，如果对于A中的每个向量aᵢ都存在一组标量k₁, k₂, ..., kₘ，使得aᵢ = k₁b₁ + k₂b₂ + ... + kₘbₘ，同时对于B中的每个向量bⱼ都存在一组标量h₁, h₂, ..., hₙ，使得bⱼ = h₁a₁ + h₂a₂ + ... + hₙaₙ，则向量组A和B等价。
2. 等比关系：如果两个向量组的每个向量都是另一个向量组中一个向量的倍数（或相反），那么它们是等价的。具体而言，设向量组A={a₁, a₂, ..., aₙ}和向量组B={b₁, b₂, ..., bₘ}，如果对于A中的每个向量aᵢ存在一个常数kᵢ，使得aᵢ = kᵢbⱼ，其中bⱼ是B中的某个向量，同时对于B中的每个向量bⱼ存在一个常数hⱼ，使得bⱼ = hⱼaᵢ，则向量组A和B等价。
要证明两个向量组等价，可以逐个验证上述条件。