老师，怎么求一个矩阵的极小多项式啊

Question

如果例如如果给定了实数域上的矩阵A 的特征多项式为(r-1)^2(r+2)^3(r^2+2)(r^2+2)^2且已知A可以对角化，求他的极小多项式？

Answer 1

在复数域上 A 可对角化等价于 A 的极小多项式没有重根
所以这里 A 的极小多项式为 (r-1)(r+2)(r^2+2)追问

可是我给定的数域是实数域为什么还要把最后的那一项带上

追答

极小多项式在域扩张下不变

你可以考虑一个具体的例子
A=diag{1,1,-2,-2,-2,D,D,D}
D=
0 sqrt(2)
-sqrt(2) 0
看看要作用怎样的多项式才能使它变成零

追问

可以证明出域扩张下不变吗

追答

利用极小多项式的存在唯一性即可

Answer 2

什么是比 ?什么是比例?比和比例有什么联系和区别?