柯西不等式有哪些推论及证明

Question

如题所述

Answer 1

公式基本结构
（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≤（a12+
a22+a32
+…+an2）(b12
+b22+b32+…+bn2)
当且仅当
时等号成立
二阶形式（a1b1+a2b2）2≤（a12+
a22）(b12
+b22)
当且仅当
时等号成立
三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≤（a12+
a22+a32）(b12
+b22+b32)
当且仅当
时等号成立
二．证明
先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）
构造f(x)
=（a12+
a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12
+b22+b32)
=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0
△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+
a22+a32）(b12
+b22+b32)
对于任意的x∈R等式恒成立,
∴△≤0，∴当且仅当
时，取“=”
~谢谢采纳！

Answer 2

Cauchy不等式的形式化写法就是：
记两列数分别是ai,
bi，则有
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≥
(∑ai
*bi)^2.
令
f(x)
=
∑(ai
+
x
*
bi)^2
=
(∑bi^2)
*
x^2
+
2
*
(∑ai
*
bi)
*
x
+
(∑ai^2)
则恒有
f(x)
≥
0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
Δ
=
4
*
(∑ai
*
bi)^2
-
4
*
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≤
0.
于是移项得到结论。
还可以用向量来证.
m=(a1,a2......an)
n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种方法证，这里只写出两种较常用的证法．
参考资料：
http://zhidao.baidu.com/question/71851340.html?si=6&wtp=wk