n阶行列式的展开式中每项是元素的乘积。由不同行不同列的元素相乘，且各行各列都有一个元素。取这些元素时可以固定从第一行开始取，则列下标就是1~n的任意一种排列，共有n！种，
所以n阶行列式的展开式共n！项。
定义1
n阶行列式
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
的
代数和，这里
是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当
是偶
排列时带有正号，当
是奇排列时带有负号。这一定义可写成
这里
表示对所有n级排列求和，
表示排列
的
逆序数。由定义1立即看出，n阶行列式是由n!
项组成的。
拓展资料：
n阶行列式的性质
性质1
行列互换，行列式不变。
性质2
把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
性质3
如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4
如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）
性质5
如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
性质6
把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
性质7
对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为
，它的展开式为ad-bc。
九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的
三阶行列式记为
，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1.
行列式起源于
线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些
表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。
在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。
莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。