∑上面是无穷下面是n=m+1/m!(n-m)!怎么求

Question

如题所述

Answer 1

这个求和符号表示对所有的正整数从无穷到n=m+1进行求和，其中m!表示m的阶乘，即m! = 1 × 2 × ... × m，(n-m)!表示n-m的阶乘，即(n-m)! = 1 × 2 × ... × (n-m)。
因此，该求和式可以化简为：
∑(n=m+1)^∞ (m!(n-m)!)
= ∑(n=m+1)^∞ [1 × 2 × ... × m] × [1 × 2 × ... × (n-m)]
= ∑(n=m+1)^∞ [1 × 2 × ... × m] × [1 × 2 × ... × (n-m)]
= ∑(n=m+1)^∞ n!/(n-m)!
= ∑(n=m+1)^∞ [(n-m)! × m!] × [n! / (n-m)!]
= m! × ∑(n=m+1)^∞ n!
这个求和式是不容易计算的，因为它涉及到所有正整数的阶乘。但是，我们可以根据组合数的性质，将这个求和式转化为一个较为简单的形式。
根据组合数的性质，有：
∑(k=0)^∞ C(n,k) = 2^n
其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，即C(n,k) = n!/(k! × (n-k)!)。
因此，该求和式可以化简为：
∑(n=m+1)^∞ n! = ∑(n=m+1)^∞ [C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n)]!
= !∑(n=m+1)^∞ [C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n)]
= !∑(n=m+1)^∞ [1 + n + n(n-1)/2 + ... + 1]
= !∑(n=m+1)^∞ [n! + n(n-1)!/2 + ... + 1]
由于这个求和式的每一项都包含一个阶乘因子，因此这个求和式是不容易计算的。但是，我们可以根据组合数的性质，将其转化为一个较为简单的形式。