关于特征多项式|λE-A| = λ^n - (a11 + a22 + … + ann)λ^(n-1) + … + (-1)^n|A|

Question

这公式看不懂啊，中间省略的是λ的n-2次方一直下去么？那这样的话λ的n-2次方、n-3次方。。。前的系数又是什么？压根没有规律啊

Answer 1

A的特征多项式 f(λ) = |λE-A|。

由行列式的定义可知它是一个关于λ的n次多项式,其λ^(n-1) 的系数为(-1)^(n-1)(a11+a22+……+ann)。

另一方面 ,设A的n个特征值为λ1...λn,则：

f(λ)= (λ-λ1)...(λ-λn),展开得λ^(n-1) 的系数为（-1)^(n-1)(λ1+...+λn)

比较 λ^(n-1) 的系数及常数项即得结论。

简介

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

然后，我们也就可以对关系式进行变换：(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。

带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

Answer 2

A的特征多项式 f(λ) = |λE-A|
由行列式的定义可知它是一个关于λ的n次多项式,其λ^(n-1) 的系数为(-1)^(n-1)(a11+a22+……+ann)
另一方面 ,设A的n个特征值为λ1...λn,则
f(λ)= (λ-λ1)...(λ-λn),展开得λ^(n-1) 的系数为（-1)^(n-1)(λ1+...+λn)
比较 λ^(n-1) 的系数及常数项 即得结论.追问

常数项是如何得出的？正常来说f(λ)= λ^n-(λ1+λ2+....+λn)λ^(n-1)+....+(-1)^n(λ1λ2λ3....λn),对吧？我明白你的意思，（ λ连加等于trA, λ连乘等于|A|。）*我但是我是想从这个式子推上述两个性质，连加那个很好推，但是怎么证明∏λn等于|A|

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Answer 3

有的。是对应的主子式之和。

Answer 4

这个式子应该是
当r（A）=1时，
|λE-A|=λ＾n-tr（A）×λ＾（n-1）
tr(X)=∑xii
tr（A）就是矩阵的迹，为主对角线上的所有元素之和.