实数a，b，c，d满足（b+a2-3a）2+（c+d+2）2=0，则（a-c）2+（b+d）2的最小值是1212

Question

实数a，b，c，d满足（b+a2-3a）2+（c+d+2）2=0，则（a-c）2+（b+d）2的最小值是1212．

Answer 1

实数a，b，c，d满足（b+a²-3a）²+（c+d+2）²=0，
则有b+a²-3a=0，且c+d+2=0，
由于（a-c）²+（b+d）²的几何意义：两点A（a，b）、B（c，-d）的距离的平方，
则为求抛物线y=3x-x²上点A和直线x-y+2=0上点B的距离的最小值，
由于联立方程x-y+2=0和y=3x-x²上，消去y，得到x²-2x+2=0，方程无实数解，
故直线和抛物线相离，可设直线y=x+t与抛物线相切，
则联立抛物线方程，消去y，得，x²-2x+t=0，由判别式为0，即有4-4t=0，
即t=1，则切线为：y=x+1，
由于两直线y=x+2与直线y=x+1的距离为d=

|2?1|

2

=

2

2

，
即有抛物线y=3x-x²上点A和直线x-y+2=0上点B的距离的最小值为

2

2

，
则有（a-c）²+（b+d）²的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．