数学分析：有理数都可以表示为有尽小数或无尽循坏小数；无尽循环小数一定是有理数

Question

这种类似于公理的命题如何证明？

Answer 1

所谓公理，就是不需要你去证明的定理。
实际上，在数学中，有理数的定义是：一个整数a和一个非零整数b的比值
当然，1/2=0.5，1/3=0.333……，1/4=0.25，……2/3=0.666……1/6=0.166666……，，2/4=0.5，3/4=0.75……等等，只要能写成分数形式的数，
都可以写成一个有限小数，或者无限循环小数。
所以可以认为有理数就是分数，（整数可以看作分母为1）
而无限不循环小数，是不能写成分数形式的，因为分子不为定值，分母会无限大。
当然，无限循环小数一定是有理数，因为有理数就包括无限循环小数，
反过来说，如果存在一个无限循环小数，不是有理数，
那么，有理数的定义就不成立。
用语文的知识去理解这些东西。
你记着，所有数学课本上的“公理”，“定理”，都是不需要你去证明的，任何时候，你都可以直接拿来用。
当然，公理不多，而且也多是定义类的东西。而定理的推论，是可以通过定理证得的。追问

十分感谢，不过这题是史济怀数学分析上的一题，当然不会直接套用公理，那岂不是失去意义了，现在关键就是要证明所有分式的结果都是无限循环小数或有尽小数

追答

对于无限循环小数0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…（其中对1<=i<=k，1<=Xi<=9，且是Xi是整数；k是它循环部分的位数，并且k属于自然数集）这样的无限循环小数来说（X1X2X3… Xk是它的循环部分）
如果存在有理数a,b，使b / a=0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…

那么自然也就证明了所有的无限循环小数都可以写成分数形式。

b / a ＝0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…

＝0.X1X2X3… Xk＋(10^－k)
（0.X1X2X3… Xk）＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）＋(10^－3k)（0.X1X2X3… Xk）＋...

b =（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－3k)（0.X1X2X3… Xk）a＋...

(10^k)b =（X1X2X3… Xk）a +（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）a＋...

=（X1X2X3… Xk）a + b

(10^k－1)b =（X1X2X3… Xk）a

b / a =（X1X2X3… Xk）/（10k－1）

换句话说，形如0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…的无限循环小数，它的有理数表示方式是：（X1X2X3… Xk）/（10k－1）

做几个简单验证：

0.33333…＝3 /（10－1）＝1／3

0.142857142857…＝142857／（1000000－1）＝1／7

另外，对于那些不是单纯循环的小数，比如5.2345454545…，只要把它表示成：

5＋0.23＋（0.454545…）/10－2

要证所有的分数，可以可以写成有限小数或无限不循环小数的方法就简单多了，
只需要把1，2，除到9得到前提理论
无论被除数，除数是多少，都可以利用分割的思想辗转相除的方法证得。

追问

十分感谢！先采纳之。
唯一不懂之处就是最后一段话，也就是要证明的前面一句，
什么叫1，2除到9？
还有这里辗转相除怎么运用？望告知~

追答

可以从整数除法的过程中利用反证来看这个问题：若存在一个无限不循环小数，可以表示成为最简分数p/q那么，用p除q，是除不尽的，且得到的小数是无限不循环的。如果这个命题不成立，就能得到我们想要证得的结论。
两数p/q相除到某一位时，商位k，余数为r。这个余数r一定是有限的（比如，10以内，或100以内，或1000以内。。由q的条件决定,因为除法中规定余数一定小于除数。）
那么在下面的除法时，不能再出现这个余数r（一旦出现相同的余数，除数不变的情况下，商几余几的结果就一定进入循环。）
但是余数是有限的（小于除数），其上限也是有限的，如10以内，那么余数的出现无非0-9这10个数字，即，不可能出现无限的不同的余数。
所以，分数是一定会进入循环的。