定积分和二重积分三重积分的异同是什么?

如题所述

定积分与二重积分、三重积分三者均是高等数学中的积分内容,均具有广泛的应用。定积分与二重积分、三重积分有3点不同:

一、三者的本质不同:

1、定积分的本质:平面的面积。

2、二重积分的本质:曲顶柱体体积。

3、三重积分的本质:三重积分就是立体的质量。

二、三者的概述不同:

1、定积分的概述:定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

2、二重积分的概述:二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。

3、三重积分的概述:设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数,将Ω任意分割为n个小区域,每个小区域的直径记为rᵢ(i=1,2,...,n),体积记为Δδᵢ,||T||=max{rᵢ},在每个小区域内取点f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ);

作和式Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)Δδᵢ,若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关),则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。

三、三者的几何意义不同:

1、定积分的几何意义:揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

2、二重积分的几何意义:在空间直角坐标系中,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知,可以用二重积分的几何意义的来计算。

3、三重积分的几何意义:当积分函数为1时,就是其密度分布均匀且为1,质量就等于其体积值。当积分函数不为1时,说明密度分布不均匀。

参考资料来源:百度百科-定积分

参考资料来源:百度百科-二重积分

参考资料来源:百度百科-三重积分

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