欧拉公式的证明

Question

证明如下：
令f(x)=cosx+isinx,则
df(x）/dx=-sinx+icosx=i(cosx+isinx)=if(x)
∫df(x)/f(x)=∫idx
ln[f(x)/C]=ix,即
f(x)=Ce^ix,于是
Ce^ix=cosx+isinx
当x=0时，左边=C=1=右边，代入C=1得
e^ix=cosx+isinx
欧拉公式证毕
本人高一时学了微积分，现在高三刚毕业，学完了线性代数和复变函数
请问还有别的证明吗？（不包括幂级数证明，因为它有问题）
二楼的说的好极了。但本人不是初学者，证明与推导的区别与联系还是知道的，如果证明必须是“逻辑上”的证明，那么，我所学的所有数学公式和定理，书上都没有“证明”。（并非所有人都喜欢数理逻辑）我从一个复值函数出发，发现了欧拉公式，这实际上就已经“证明”了欧拉公式。形式推导的过程中，只要不用到推导结果的推论或等价命题，那么，这种形式推导就是其推导结果的证明。举个例子，一般的微积分书上，对fourier级数的“证明”，都采用了形式推导，并不是严格证明。而之所以不是，是因为，推导过程中使用了fourier级数的待定系数公式（这并未证明）。再举个例子，对于泰勒级数的证明，在证明之前，都会给出泰勒级数的形式推导，即假设函数可用一个多项式来无限逼近（这并未证明，而且不对），然后求出各项系数，等到泰勒展开式确定了，再严格证明。证明一个公式或定理，必须事先知道其结果，而推导一个公式或定理，可以事先不知道其结果。所以，推导往往比证明更好，但由于某些公式或定理不能直接推导，所以才退而求其次选择证明。就拿这个“证明”来说，我既可以说我事先知道欧拉公式，也可以说我事先不知道（人类的思维不是逻辑能够概括的）。我会考虑选择你为最佳答

Answer 1

其实，如果你仔细看书的话，凡是称为“证明”的书上都会把“证明”两个字打上引号。因为这不是逻辑上的证明，而是告诉你他们之间的关系。有些大数学家在写一些数学思想史的书籍的时候，可能会抛开逻辑而追求形式上的推导。但是要分清这不是证明。不能在考试的时候这么用。因为这是在更高的层次上看问题，不能用初学者的眼光来对待。
首先指数函数是定义在实数域上的，现在要延拓到复数域上，首先要定义e^i, e^xi是什么，严格地说，这是一种定义。其次，要说明这个定义是合理的，不会与之前的基本结论有明显矛盾，微积分的书中都会给出幂级数的推导（不是逻辑上的“证明”），复变函数书上一般会给出如上的推导。但这不是逻辑的证明，而只是说明通过欧拉公式来定义的复数域上的指数函数是合理的。等开学后问问老师，他们也会强调这不是证明。
不过，你这个问题我在高中是也遇到过，当时问过大学里的老师，他们页强调这不是证明。

Answer 2

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：
因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-…… 在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”减加”） e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到： e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它

参考资料：http://baike.baidu.com/view/398.htm?fr=ala0_1

Answer 3

用拓朴学方法证明欧拉公式
尝欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体)，假
设F，E和V分别表示面，棱(或边)，角(或顶)的个数，那么
F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
证明
如图15(图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的):
(1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。
(2)去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
(3)对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
(4)如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
(5)如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
(6)这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
(7)因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
(8)如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式:
F-E+V=2
得证。

Answer 4

由指数函数幂级数展开式,exp(ix)=(嘻嘻,自己填,自己算,不管是实还是复.如果没有学过复变函数,不必去质疑证明的严密性.)
展开式中,
偶数次幂,1,-1交替出现.
奇数次幂,i,-i交替出现.
按实部,虚部整理好.整个实部是余弦函数幂级数展开式,虚部是正弦函数展开式.
由此,我们证明了:
exp(ix)=cosx+isinx
当x等于pi时就得到著名的等式

Answer 5

如果你真的高中生
希望学好本职的科目
不要研究过神这样对高考没有帮助
祝你考入清华大学