求解两道矩阵计算的题目

Question

如图片所示

Answer 1

第1题
（1）证明：
（Ax,y）=(Ax)^Ty=x^TA^Ty
而(x，Ay)=x^TAy
（Ax,y）=(x，Ay)对任意x,y成立，则
x^TA^Ty=x^TAy对任意x,y成立，则
也即
x^T(A^T-A)y=0对任意x,y成立，则
A^T-A=0
A=A^T
即A是n阶对称矩阵
从而V是n阶对称矩阵全体，

显然n阶零矩阵属于V
且对任意常数s,t，以及任意对称矩阵A,B属于V，有
sA+tB仍是对称矩阵（sA+tB）^T=(sA)^T+(tB)^T=sA^T+tB^T=sA+tB，
则V是线性子空间。

(2)根据对称矩阵的特点，n维对称矩阵，只需要由主对角线元素，以及主对角线上方的元素决定，因此维数是(n^2+n)/2
一组基，可按下列方法来选：
主对角线上某个元素为1，其余都为0
以及主对角线上方某个元素为1，与主对角线对称位置的元素也为1（转置位置），其余都为0，
这样能选出(n^2+n)/2线性无关的对称矩阵，构成一组基