波动方程偏移与绕射扫描叠加偏移相比在质的方面有重大改进，是目前使用的主要偏移方法。其中又以15°有限差分偏移最为典型。
(一)15°有限差分法波动方程偏移
15°有限差分法波动方程偏移是以地面上获得的水平叠加时间剖面作为边界条件;用差分代替微分，对只包含上行波的近似波动方程求解以得到地下界面的真实图像。这也是一个延拓和成像的过程。
1.延拓方程的推导
由下述二维波动方程出发:
地震勘探
根据爆炸反射面模型，将速度缩小一半，即用v/2代替v，可得
地震勘探
此方程有两个解，分别对应于上行波和下行波。但地震记录是上行波记录，，故不能用此方程进行延拓，必须将它化为单纯的上行波方程才能利用。通常采用的方法是进行坐标变换后取近似值。第一步是坐标变换，令
地震勘探
上式中第一个变换无任何改变;第二个变换只是将空间深度z换成时间深度，也无实质性变化。关键是第三个变换，它表示不再用传统的旧时钟计时，而用一个运行速度与旧钟一样，但起始时刻各深度不同的新时钟计时。采用新时钟计时，上、下行波表现出差异。
因为坐标变换不改变实际波场，故原坐标系中波场u(x，z，t)与新坐标系中的波场u^(x'，，t')一样，即
地震勘探
由复合函数微分法，得
地震勘探
将上述二阶偏微分结果代入方程(4-67)，整理后得
地震勘探
为书写方便，以u、x、t分别代替u^、x'、t'，则(4-69)式可写为
地震勘探
式中uxx，u，ut分别表示u的二次导数。注意，此方程仍然包含了上行波和下行波，仍不能用来进行延拓，故还有第二步。
经过了坐标变换，虽然波场不变，但在新坐标系中上、下行波表现出差异，此差异主要表现为u的大小不同。当上行波的传播方向与垂直方向之间的夹角较小时(小于15°)，u可以忽略，而对下行波来说，u不能忽略。忽略掉u项，就得到只包含上行波的近似方程
地震勘探
此即15°近似方程(因为它只适用于夹角小于15°的上行波，或曰只有倾角小于15°的界面形成的上行波才能满足它)，为常用的延拓方程。
为了求解此方程还必须给出定解条件。由于震源强度有限，可给出如下定解条件:
(1)测线两端外侧的波场为零，即
地震勘探
(2)记录最大时间以外的波场为零，即
地震勘探
(3)自激自收记录(水平叠加剖面)为给定的边界条件，即时间深度=0处的波场值u(x，0，t)已知。
有了这些定解条件就可对方程(4-71)求解得到地下任意深度处的波场值u(x，，t)，这是延拓过程。再根据前述成像原理，取传统旧时钟零时刻时的波场值，即新时钟时间t=时刻的波场值u(x，，)就组成了偏移后的输出剖面。
2.差分方程的建立
为了求解微分方程(4-71)，用差分近似微分，采用如图4-34所示的12点差分格式，可得
图4-34 12点差分格式
地震勘探
地震勘探
将(4-72)和(4-73)式代入(4-71)式中得
地震勘探
定义向量I、T
地震勘探
令向量u(x，j，l)为
地震勘探
则(4-74)式可简写为
地震勘探
则(4-75)式可写成如下形式
地震勘探
因此有
地震勘探
此即适合计算机计算的差分方程。
3.计算步骤和偏移结果
差分方程(4-76)形式上是一个隐式方程。即时间深度=(j+1)Δ处的波场值不能单独地用时间深度=jΔ处的波场值组合得到，方程右边仍有=(j+1)Δ的项。为了求得一排数据u(x，j+1，l)必须用到三排数据u(x，j+1，l+1)，u(x，j，l)和u(x，j，l+1)(图4-35)。一般来说，隐式方程的求解必须用解联立方程的方法进行，比较麻烦。但这儿无须这样做。
利用定解条件②，在计算新的深度=(j+1)Δ处波场值时，由最大时间开始，首先计算t=tmax的那一排值。因u(x，j+1，tmax+Δt)≡0和u(x，j，tmax+Δt)≡0，有
地震勘探
计算u(x，j+1，tmax)只用到已知的u(x，j，tmax)值，十分容易。然后再利用(4-76)式递推地求=(j+1)Δ深度处任何时刻的波场值就没有任何困难了。
具体计算时由地面向下延拓，计算深度Δ处的波场值。首先计算此深度处在t=tmax时的波场，然后向t减小的方向进行。一个深度计算结束，再向下延拓一个步长Δ继续计算。依此类推，可以得到地下所有点在不同时刻的波场值。
如前所述，在新时钟t=时刻的波场值正是所欲求的“像”。因此，每次递推计算某一深度处的波场值时，由t=tmax向t减小的方向计算至t=时就可以结束。不同深度处的“像”u(x，，)组成偏移后的输出剖面。图4-36画出了偏移时的计算关系及结果取值位置。A表示地面观测到的叠加剖面。由A计算下一个深度Δ处的波场值B，计算B时先算第1'排的数值(只用到A中第1排数值)，再算第2'排数值(要用A中第1、2排和B中第1'排数值)，依此类推，直到t=Δ为止。再由B算下一个深度2Δ处波场值C，……在二维空间(x，t=)上呈现出需要的结果剖面信息。
图4-35 有限差分法偏移求解中的一步
图4-36 偏移结果取值位置图
当延拓计算步长Δ与地震记录的采样间隔Δt一样时，由图4-36的几何关系可以看到，偏移剖面是该图中45°对角线上的值。实际工作中Δ不一定要与Δt相等，可根据界面倾角大小确定Δ，倾角较大时应取较小的Δ，倾角较小时Δ可取的较大些，以减少计算工作量，中间值可用插值求得。
与其他波动方程偏移方法相比，有限差分法有能适应横向速度变化，偏移噪声小，在剖面信噪比低的情况下也能很好地工作等优点。但15°有限差分法对倾角太大的情况不能得到好的偏移效果。因此，又发展了45°、60°甚至90°有限差分偏移方法，有兴趣的读者可参阅有关文献。
(二)频率波数域波动方程偏移
有限差分偏移方法是在时间空间域中进行的。利用傅里叶变换也可使偏移在频率波数域中实现。
与有限差分法偏移思想完全一样，认为水平叠加剖面是由界面上无数震源同时向上发出的上行波在地面处的波场值u(x，0，t)，用它反求地下任一点的波场值u(x，z，t)，这是延拓;据成像原理，取其在t=0时刻的值u(x，z，0)，组成偏移后的输出剖面。
仍由速度减半后的波动方程(4-67)出发，对方程两边做关于x和t的二维傅里叶变换，得到一个常微分方程
地震勘探
式中:Ū=Ū(kx，z，ω)为波场函数u(x，z，t)的二维傅里叶变换，ω=2πf为圆频率，kx为x方向上的空间波数。
(4-77)是常微分方程，其解有两个，分别对应于上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓问题，故只考虑上行波解。
地震勘探
其中U(kx，0，ω)为解的初值，即上行波在z=0处的记录的傅里叶变换。因此，式(4-78)表示由z=0处波场的傅里叶变换求出任何深度处波场傅里叶变换的过程，是频率波数域中的波场延拓。
通过傅里叶反变换可由U(kx，z，ω)求出地下任何深度处的波场值
地震勘探
根据成像原理，偏移结果应是这些点处t=0时刻的波场值
地震勘探
这就是频率波数域偏移的数学模型。至于其具体实现步骤就不赘述了。
如果求解常微分方程(4-77)时初值不取z=0处的波场傅里叶变换值，而取任一较浅处的波场傅里叶变换值，则可得到
地震勘探
从而得到可适应速度纵向变化的相移法偏移的数学模型
地震勘探
利用此式可逐步向下延拓成像，每延拓一次用的速度均可改变。
由于快速傅里叶变换的应用，频率波数域偏移效率十分高，运行时间少，是波动方程偏移算法中最经济的方法，且适用于大倾角地区。但因计算在频率波数域中进行，需要注意假频问题，且此法对横向速度变化的地区不太适应。
(三)克希霍夫积分偏移
克希霍夫积分偏移是一种基于波动方程克希霍夫积分解的偏移方法。
三维纵波波动方程的克希霍夫积分解［见第一章(1-63)式］式中S为包围点(x，y，z)的闭曲面，n为S的外法线，r为由观测点(x，y，z)至S曲面的距离，［］表示延迟位，
此解的实质是由已知的闭曲面S上各点波场值计算面内任一点处的波场值。它正是惠更斯原理的严格数学形式。
选择闭曲面S由一个无限大的平地面S0和一个无限大的半球面S1所组成。S1面上各点波场值的面积分对面内一点波场函数的贡献为零。因此，仅由平地面S0上各点的波场值计算地下各点的波场值
地震勘探
此时，原公式中的 项消失，积分号前的负号也因z轴正向与n相反而变为正。
以上是正问题的克希霍夫积分计算公式。偏移处理的是反问题，它将反射界面的各点看作为同时激发上行波的源点，将地面接收点看作为二次震源，将时间“倒退”到t=0时刻，寻找反射界面的源波场函数，从而确定反射界面。反问题也能用上式求解，差别仅在于［］不再是延迟位而是超前位 根据这种理解，克希霍夫积分延拓公式应为
地震勘探
按照成像原理，此时t=0时刻的波场值即为偏移结果。只考虑二维偏移，忽略y坐标，将空间深度z转换为时间深度t0=2z/v，得到克希霍夫积分偏移公式
地震勘探
式中: 为地面记录道G的横坐标，x为偏移后剖面道的横坐标，
地震勘探
图4-37 克希霍夫偏移公式中各量示意图
地震勘探
由此可见，克希霍夫积分偏移与绕射扫描叠加十分相似，都是按双曲线取值叠加后放在双曲线顶点处。不同之处在于:①不仅要取各道的幅值，还要取各道的幅值对时间的导数值 参加叠加;②各道相应幅值叠加时不是简单相加，而是按(4-86)式的加权叠加。
正因如此，所以虽然形式上克希霍夫积分法与绕射扫描叠加类似，但二者有着本质区别。前者的基础是波动方程，可保留波的动力学特性，后者属几何地震学范畴，只保留波的运动学特征。
与其他波动方程偏移法相比，克希霍夫积分法具有容易理解，能适应大倾角地层等优点。但它在速度横向变化较大的地区难以使用，且偏移噪声较大。