已知微分方程y''=y,求通解

Question

如题所述

Answer 1

y''=y
y''-y=0
该微分方程对应的特征方程是;
λ^2-1=0,
λ=±1,
特解:
e^x,e^(-x),
所以通解是:
y=C1*e^x+C2*e^(-x)
(C1,C2为常数)
如楼上的朋友所示
=======================

你说不用特征方程来解,
那猜可以吗??

这是一个二阶的微分方程,
所以只要你知道其中两个特解,
则其通解为其线性组合形式

该二阶微分方程的表示的意思是;
一个函数的二阶导数还是他本身

很容易联想到y=e^x吧
再想一个:y=e^(-x)
y''=e^(-x)

所以两个特解是;e^x和e^(-x)
通解是;
y=C1*e^x+C2*e^(-x)
(C1,C2为常数)
===========================

你想通过降阶的方法来做,也可以!
对于该微分方程,没有出现自变量
那么对于这种方程F(y,y',y'')=0
可以通过令y'=p,把y为自变量,可以降阶.
令:y'=p,则:y''=pdp/dy
代入原方程有:
pdp/dy-y=0
即;pdp=ydy
一阶微分方程求出来是:
p=+/-根号(y^2+a),(a是常数)
即:
y'=+/-根号(y^2+a)
(这是一个一阶微分方程,你求解吧,好像把问题化难了)
dy/根号(y^2+a)=+/-dx(x是自变量)
求出来是:
ln|y+根号(y^2+a)|=+/-x+lnb(b是大于0的常数)
所以
y+根号(y^2+a)=b*e^(+/-x)
所以
y=b/2*e^x-a/2b*e^(-x)(正负可取)

所以令b/2=C1,-a/2b=C2
则有:
y=C1*e^x+C2*e^(-x)
(C1,C2为常数)
==========================

总结:
很明显,如果这样做,把问题想复杂了!
但对于锻炼思维还是很好的!

不知道这样的解释你是不是满意??

Answer 2

我觉得你们都在浪费楼主的时间，就让我来解答这个问题吧：
这是个不显含x的二阶方程。令p=y'那么原方程变成：
pdp/dy=y
把它们分开分别积分：
pdp=ydy
p^2/2=y^2+C1即：p^2=y^2+C1
即p=√(y^2+C1)
（这里只计算正的情况下Y的取值，负号同理）
即dy/dx=√(y^2+C1)
1/√(y^2+C1)dy=dx
两边同时积分。
得到：ln[y+√(y^2+C1)]=x+C2
即：y+√(y^2+C1)=C2e^x
即：√(y^2+C1)=C2e^x-y
两边平方：得到
y^2+C1=C2e^2x-C2ye^x+y^2
约去y^2
移项：
C2ye^x=C2e^2x-C1
即y=C2e^x-C1/C2e^(-x)
即y=C2e^x+C1e^(-x)
这就是降阶的硬方法，没有半点猜测的意思。
其实写下来也不多嘛，就是算得有点辛苦，呵呵。。。。

Answer 3

657647737祝您学习进步！天才，请采纳我吧，我先谢过了！
不用特殊方程来做:
∵这是一个二阶的微分方程,
∴只要你知道其中两个特解,
则其通解为其线性组合形式
该二阶微分方程的表示的意思是：一个函数的二阶导数还是他本身
那么：很容易联想到y=e^x
还有一个:y=e^(-x)
y''=e^(-x)
所以两个特解是;e^x和e^(-x)
通解是：y=C1*e^x+C2*e^(-x)
(C1,C2为常数)

Answer 4

y''=y
y''-y=0
特征方程:
λ^2-1=0,
λ=±1,
特解:
e^x,e^(-x),
通解:
y=C1*e^x+C2*e^(-x),
其中C1,C2为任意常数.
如果不用特殊方程的话
只可以猜想了，1，
是y=0
2
，是y=1
只有这两的数的n次方=原数
保证对的

Answer 5

如果你有书,书上一定有微分方程的那个公式
我写给你吧
当我们要求的是
y'+p(x)y=q(x)
y
=
e的(
-∫p(x)dx)次方乘以[∫p(x)q(x)dx
+
c]
c是任意常数
这一题p(x)=1,q(x)=x
结果原方程通解y=e的-x次方*(1/2*x的平方+c)