非常基本的线性代数证明题

Question

1.设a1,a2,...,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,...,en能由它们线性表示,证明a1,a2,...,an线性无关.

2.设a1,a2,...an是一组n维向量,证明它们线性无关的充要条件是任一n维向量都可由他们线性表示.

3.设向量组B:b1,b2,...,br能由向量组A:a1,a2,...,as线性表示为:B=AK,其中K为s x r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充要条件是R(K)=r.

书上基本没有证明题..所以我看起来不知怎么下手,给下清晰思路就可以了喔...谢谢了

Answer 1

1.考虑向量组A={a1,a2,...,an}的秩：它由n个向量组成，所以R(A)<=n；向量组E={e1,e2,...,en}可由A线性表示，所以R(E)<=R(A)，再由{e1,e2,...,en}是R^n的一组基可知R(E)=n，所以R(A)>=n。综合可知R(A)=n。A由n个向量组成，且秩为n，所以这n个向量线性无关。

2.假设它们线性无关，则向量组A={a1,a2,...an}的秩为n，所以是R^n的一组基（因为R^n的维数也是n），所以任一n维向量都可由它们线性表示。
假设任一n维向量都可由它们线性表示，则特别地，n维单位坐标向量{e1,e2,...,en}可由它们线性表示，再由1即知它们线性无关。

3.假设R(K)<r，则方程组Kx=0（x是r维向量）有非零解。所以存在非零向量x=(x1,x2,...,xr)使得Bx=(AK)x=A(Kx)=0，即x1*b1+x2*b2+...+xr*br=0。x是非零向量说明x1,x2,...,xr不全为零，所以上式说明向量组B线性相关。
假设向量组B线性相关，则存在不全为零的x1,x2,...,xr使得x1*b1+x2*b2+...+xr*br=0。记x=(x1,x2,...,xr)，则上式说明Bx=0，所以(AK)x=A(Kx)=0。但向量组A线性无关，所以必有Kx=0。这说明方程组Kx=0（x是r维向量）有非零解，知R(K)<r。
综合可知向量组B线性相关的充要条件是R(K)<r，所以B线性无关的充要条件是R(K)=r

Answer 2

不会