如何证明p2阶的群必为交换群(p 为素数)？

Question

如题所述

Answer 1

设G为p²阶群。

有个结论说p群的中心非平凡，即存在非单位元的元素a∈G，与G中所有元素可交换。
a的阶整除p²， 故为p或p²。

若a是p²阶元， 则G = <a>由a生成，是p²阶循环群，G是交换群。
若a是p阶元，考虑a生成的子群N = <a>。由a与G中所有元素可交换，N是G的正规子群。
商群G/N是p阶群，bN为一个生成元，则G/N的元素可表示为(b^k)N，k = 0， 1，2，p-1。
于是G中元素可唯一表示为b^k，a^j， 0 ≤ j，k < p。
由a与b可交换，易验证G中任意两个元素均可交换，G是交换群。

Answer 2

设G为p²阶群.
有个结论说p群的中心非平凡, 即存在非单位元的元素a∈G, 与G中所有元素可交换.
a的阶整除p², 故为p或p².
若a是p²阶元, 则G = <a>由a生成, 是p²阶循环群, G是交换群.
若a是p阶元, 考虑a生成的子群N = <a>. 由a与G中所有元素可交换, N是G的正规子群.
商群G/N是p阶群, 设bN为一个生成元, 则G/N的元素可表示为(b^k)N, k = 0, 1, 2,...,p-1.
于是G中元素可唯一表示为b^k·a^j, 0 ≤ j,k < p.
由a与b可交换, 易验证G中任意两个元素均可交换, G是交换群.