证明过程：
1、设群G为p阶群，p为素数
任意a∈G，<a>为由a生成的群，<a>包含于G。
由lagrange定理可得|<a>| 整除|G|=p为素数。
那么|<a>|=1或p
|<a>|=1表示只有一个元素a=1
|<a>|=p=|G|，那么<a>=G
所以那么G就是循环群，那么G也是交换群。
2、设4阶群G={1,a,b,c}
那么G中元素的借只能为1、2、4
（1）若G有4阶元，设为a^4=1，那么b、c只能是a^2,a^3
那么G={1,a,a^2,a^3}=<a>
G为循环群，那么也就是交换群。
（2）若G没有4阶元，那么只能是a^2=1 b^2=1 c^2=1
a^-1(a的逆)=a b^-1=b
那么ab∈G，那么也是2阶元。
所以ab*ab=1，a^-1*ab*ab*b^-1=a^-1*b^-1
ba=a^-1*b^-1=ab
所以G交换。
（3）S3为3阶对称群，有6个元素为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
而可以发现
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 * 2 3 1= 3 2 1
而
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 * 1 3 2= 2 1 3
所以S3不是交换群。
综上：
1、2阶群显然是交换的。
3、5、7阶群由(1)也知是交换群。
4阶群由(2)秩是交换群。
而6阶群S3非交换，所以S3是最小非交换群。
数学里的非阿贝尔群，也称 非交换群，是一种群。非阿贝尔群在数学和物理中广泛存在。最小的非阿贝尔群是4阶二面体群。物理中的常见例子是三维中的旋转群（绕不同的轴的旋转交换顺序会造成不同的结果），这也称作四元群。
在经典力学与几何学里，所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转，组成的群，定义为旋转群。根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。
两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转；零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律．由于符合上述四个要求，所有旋转的集合是一个群。更加地，旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构，旋转群的运算是光滑的；所以，它是一个李群。旋转群时常会用SO(3)来表示。