关于SINX/X当X趋近于0的时候的极限。

Question

sinx/x当X趋近于0的时候极限 为什么为1。 对于自学教材上对其的解释不太明白 他说 因为当X趋近于0的时候COSX趋近于1 而因为COSX<SINX/X<1 他被COSX 和1夹在中间。则当然有SINX/X趋近于1 我不太明白。这是为什么。谁能帮下忙。我看了下和我同类的问题 对其回答也不太满意。谁能帮下 谢谢了

Answer 1

根据洛必达法则，limx趋近于0,y趋近于(sinx)'/(x)'|x=0，=cos0=1

教材上的意思是，在x趋近0的时候，有COSX<SINX/X<1 (求导易证)，cosx趋近于1
想象一下你头顶有天花板顶着，地面不断升高，最终你只能被挤压夹逼到窄缝中
所以sinx/x被夹逼到1这个值

参考资料：http://baike.baidu.com/view/420216.htm

Answer 2

来看两个函数：y=sinx和y=x,把它们的图像画在同一坐标系中，通过观察就能直观的看到当x趋近于0时，两个函数的值几乎是相等的，因此，就有了sinx/x当X趋近于0的时候极限为1。

Answer 3

这样说吧，你在平面直角坐标系上作一个单位圆，O为原点（圆心）。单位圆与x轴交于A（1，0）。圆上第一象限取一点P，连OP，作PQ与x轴垂直，垂足为Q。过A作平行于y轴的直线交射线OP于T。设OP与x轴夹角为x。则sinx=|PQ|，x=1*x=弧PA长度，tanx=|AT|。这样，由几何关系，|PQ|<弧PA长度<|AT|，即sinx<x<tanx。又tanx=sinx/cosx，变形可得cosx<sinx/x<1。这样cosx在x趋于0时极限为1，由夹逼定理得sinx/x在x趋于0时的极限为1

Answer 4

在半径=1的圆中，圆心角x(单位为弧度，0<x<π/2)的正弦线=sinx,所对弧长=x,所对的正切线=tanx,
sinx<x<tanx,sinx<x<sinx/cosx(sinx>0),sinx/sinx<x/sinx<(sinx/cosx)/sinx,1<x/sinx<1/cosx,取倒数，得，
1>sinx/x>cosx,取x-->0的极限，lim(x--->0)cos0=1,lim(x--->0)1=1,1>[lim(x--->0)sinx/x]>1,由迫敛性知
lim(x--->0)sinx/x=1(迫敛性:lim(x--->x0)f(x)=A,lim(x--->x0)h(x)=A,且f(x)<=g(x)<=h(x),则lim(x--->x0)g(x)=A)

Answer 5

是根据夹逼定理，如果fx<gx<hx,fx和hx的级限相等，为A，则的gx极限也存在，等于A.这个很容易理解的吧