已知函数fx=ax^2+lnx

Question

(1）当a=-1/2时，求函数fx在闭区间（1/e，e）的值域（2）求函数fx的单调区间（3）若fx在区间(1,2)上不单调，求实数a的取值范围

Answer 1

解：fx=-1/2x²+lnx，显然x>0
f'x=-x+1/x=(1-x²)/x
令f'x<0,解得：x>1
所以，fx在（1，+无穷）上单调递减
fx在（0,1）上单调递增
在（1/e,e）上，f（x）max=f（1）=-1/2
f(1/e)=-1/2e²-1,f(e)=1-e²/2
f(1/e)-f(e)=(e^4-2e²-1)/2e²>0
所以值域为：（1-e²/2,-1/2）
(2)f'x=2ax+1/x
令f'x>0，当a>0时，解得：x>0
当a<0时，0<x<1/√（-2a）
所以，当a>0时，fx在(0,+无穷)上单调递增
当a<0时，fx在（0,1/√(-2a)）上单调递增
fx在(1/√(-2a),+无穷)上单调递减
(3).fx在区间(1,2)上不单调，
由(2)可知：a<0,且1<1/√(-2a)<2
解得：-1/2<a<-1/8

Answer 2

1）当a=-1/2时，fx=-1/2x^2+lnx，求导函数得fx‘=-x+1/x,二次求导的fx’‘=-1-1/x^2,在区间（1/e,e）上二次函数是小于零的，则一次导函数是单调递减的，fx’最小值为f‘（e）=1-1/(2e^2)>0,说明原函数是单调递增的函数，则其值域为[f（1/e）,f(e)],即值域为{-1/(2e^2)-1,-e^2/2+1}
2)根据原函数确定定义域为（x>0）求导的fx’=2ax+1/x=(2ax^2+1)/x.当a<0时，fx‘<0t推出（0，+根号下-1/2a）为负值，即为原函数的单调减区间，fx‘在(+根号下-1/2a,+无穷)为正值即为原函数的单调增区间。当a=0时候，fx=lnx，显然在整个R上为单调递增的。当a>0时，fx’在整个R上也为增函数。
3）更具上述2问的讨论可知，只有当a<0时原函数才不会有单调的情况，fx在（1,2）上不单调，则可以推出+根号下-1/2a应在（1，2）的区间内，结果为a在（-1/2,-1/8）.完了

Answer 3

（1）把a带入求导，f'(x)=0时f(x)取到极值，解得x=1或x=-1，但极值不一定是最值，所以把1，—1，1/e，e都带入f(x),取4个值中最大的和最小的，之间的就是值域，还要注意值域的开闭
（2）也是求导，因为a没有具体值，所以f'(x)=0 => x^2=1/a x有两个根，那么f(x)就有3的单调区间
（3）fx在区间(1,2)上不单调，就表示在这个区间上有一个极值，由（2）可知两个极值一正一负，所以1<根号a分之一<2 ，就可以求出a 的取值范围

具体的数据就要你自己算了，只是提供一个思路，有帮助的话，希望采纳

Answer 4

就是下面几位所说的解法，只是在第2问中，当a=0时，x在（0，+oo）上也是递增的，所以应该是当a》=0时，x在（0，+oo）上递增。

Answer 5

解：fx=-1/2x²+lnx，显然x>0
f'x=-x+1/x=(1-x²)/x
令f'x<0,解得：x>1
所以，fx在（1，+无穷）上单调递减
fx在（0,1）上单调递增
在（1/e,e）上，f（x）max=f（1）=-1/2
f(1/e)=-1/2e²-1,f(e)=1-e²/2
f(1/e)-f(e)=(e^4-2e²-1)/2e²>0
所以值域为：（1-e²/2,-1/2）
(2)f'x=2ax+1/x
令f'x>0，当a>0时，解得：x>0
当a<0时，0<x<1/√（-2a）
所以，当a>0时，fx在(0,+无穷)上单调递增
当a<0时，fx在（0,1/√(-2a)）上单调递增
fx在(1/√(-2a),+无穷)上单调递减
(3).fx在区间(1,2)上不单调，
由(2)可知：a<0,且1<1/√(-2a)<2
解得：-1/2<a<-1/8