怎么用导数证明对勾函数单调性

Question

我是高一的，证明对勾函数单调性作差法太烦了，老师说用导数做。求用导数证明对勾函数单调性的详细过程和方法。 好的追加30分！绝不食言！
例如f(x)=x+1/x 写下证明过程，再总结下方法，最好解释一下。

Answer 1

已知f(x)=x+1/x ，求导得f'(x)=1-1/x^2=（x^2-1）/x^2.再令f'(x)=0，得x=1或x=-1。
列表得当x<-1时，f'(x)>0，f(x)单调增。当-1<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调减。当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调减。当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调增。
导数表示切线的斜率，当导数大于0，则函数单调增，当导数小于0，则函数单调减。

Answer 2

已知f(x)=x+1/x
，求导得f'(x)=1-1/x^2=（x^2-1）/x^2.再令f'(x)=0，得x=1或x=-1。
列表得当x<-1时，f'(x)>0，f(x)单调增。当-1<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调减。当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调减。当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调增。
导数表示切线的斜率，当导数大于0，则函数单调增，当导数小于0，则函数单调减。

Answer 3

f（x）导数为1-1/x^2=(x^2-1)/x^2
令导数大于0，得到x>1或x<1，所以单调增区间为（-无穷，-1），（1，+无穷）
令导数小于0，得到-1<x<0或0<x<1，所以单调减区间（-1,0），（0,1）

高一没学导数吧，解释下，f（x）在x0处导数f‘（x0）=lim（x->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)
若导数大于0，则当x>x0时，f(x)>f(x0)；x<x0时，f(x)<f(x0)；
若导数在（a，b）上大于0，则（a，b）上任意一点，函数值都小于这点右侧附近任一点的函数值，大于左侧附近任一点的函数值，所以（a，b）上单调递增，同理，（a，b）函数值小于0，函数在（a，b）单调递减。

Answer 4

这个函数是奇函数 我只需要分析(0,+无穷)即可，楼主有兴趣可以自己证明（-无穷,0)的单调性
f'(x)=1+(-1/x^2)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2
令 f'(x)=0
x=1或 x=-1
f'(x)>0 x>1
即(1,+无穷)单调递增
f'(x)<0 0<x<1
即 (0,1)单调递减
x=1为极小值点
鉴于此函数不能取x=0
所以楼主需要注意这个函数 不能在(-无穷，+无穷)上讨论其单调性
那样没有意义 觉得好的话望采纳 谢谢