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最基本的方法就是 将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值（或者是最小值）大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了！
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在（1，+无穷大）上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明：a-a^2>0 其中0<a<1
F(a)=a-a^2
F'(a)=1-2a
当0<a<1/2时，F'(a)>0;当1/2<a<1时，F'（a）<0
因此，F（a）min=F(1/2)=1/4>0
即有当0<a<1时，a-a^2>0
3.x>0,证明：不等式x-x^3/6<sinx<x
先证明sinx<x
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx<x
再证x-x³/6<sinx
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
要证x²/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0 sinx<x的，所以x-sinx<0
x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x²/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x³/6<sinx