一、定义不同
泰勒级数（英语：Taylor series）是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
泰勒展开式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
二、要求不同
泰勒级数要求在被展开处无限阶可导，是函数展开成有限项的幂级数。
泰勒展开式要求被展开函数在该出n+1阶可导，满足幂级数收敛于f(x)，而将f(x)展开成无限项幂级数的精确表示。
三、应用不同
泰勒级数的应用体现在以下三个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
泰勒展开式的应用体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
参考资料来源：百度百科-泰勒级数
参考资料来源：百度百科-泰勒公式
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第1个回答 推荐于2017-09-14
任何函数都有泰勒展式，但不一定能展成泰勒级数。注意上面说了“如果函数f(x)有幂级数展开式（1）。。。。”，有的函数并没有。泰勒展开公式的余项是抽象的，就是说泰勒展开公式是一种拟合。当泰勒余项能用省略号表示的时候（即泰勒余项和无穷级数的后面的无穷多项相等），函数可以展成泰勒级数，具体就是泰勒余项在n->∞的时候趋近于0时函数展成泰勒级数。本回答被提问者采纳
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