一道不定积分题，cos为什么等于后面一堆？

Question

答案开头说，令cosx=a(2sinx+cosx)+b(2sinx+cosx)',为什么就能知道cosx等于后面这一堆？？

Answer 1

因为三角函数，如果在分母上的话不好积分。
但是如果把分母看成一个整体的话，他积分就是可以参考X分之一的积分，就是ln x.他这样的定义是把分子可以换成两部分，一部分是分母的倍数，
除完了之后上面只留下a,a作为一个常数求积分当然是比较容易。
另一部分就是把它换成分母的导数，把分母看作，函数f(x），那d(f(x))=f’*dx ，他凑出来分母的导数之后，把DX用D（FX）替换，
分母作为整体就可以用LN积分出来。
是一种常用的解法记下来，以后很多题都适用的。
满意请采纳。追问

我还是不太明白，为什么cosx可以等于分母的倍数+分母的导数，这是用什么原理使得这个等式成立的？

追答

因为分母是SinX和CosX的函数 这两个求导后是cos和-Sin，也会是说分母和它的导数加起来肯定好还是关于Cos 和Sin的函数，所以可以这样设啊。

Answer 2

这是为解题而想出来的方法，谓之【待定系数法】；也就是为达到某个目点，设出一个等式，
再通过运算求出待定系数a和b；这种方法，技巧性很强，不容易掌握。
事实上，令cosx=a(2sinx+cosx)+b(2sinx+cosx)'=2asinx+acosx+b(2cosx-sinx)
=(2a-b)sinx+(a+2b)cosx;
这是一个恒等式，对应项系数应该相等，故 2a-b=0........①；a+2b=1.........②
①②联立解得 a=1/5；b=2/5；
∴ cosx=(1/5)(2sinx+cosx)+(2/5)(2cosx-sinx);
至于这道题为什么要作此代换，我还没有看出个所以然来。本回答被提问者采纳