一个线性代数简单证明题

Question

设矩阵H=E-2xxT，其中E是n阶单位阵，x是n维列向量，且xTx=1，证明H是对称的正交阵

Answer 1

用' 来表示转置吧
H' = E ' -(2xx')' =E - 2(x')'x' =E-2xx',所以H对称
而HH' = (E-2xx')(E-2xx') =E-2xx'-2xx' + 4xx'xx'
=E-2xx'-2xx' + 4x(x'x)x'
=E-2xx'-2xx' + 4xx'
=E
所以H正交