若n阶矩阵A与B相似,证明它们的特征矩阵相似

Question

如题所述

Answer 1

题：若n阶矩阵A与B相似,证明它们的特征矩阵相似
解：以下用E表示单位矩阵(幺阵)，用E/X表示矩阵X的逆阵。
题意即：
若存在可逆矩阵P，使得
E/P*A*P=B，
则存在可逆矩阵Q，使得
E/Q*(λE-A)*Q=
(λE-B)
证：取Q为P即是。好证极了。略。
还是写一下吧。
证：E/P*A*P=B，
故
E/P*(λE-A)*P=
E/PλEP-E/P*A*P=E/PλP-B=E/P*P*λE-B=λE-B
故λE-A
与λE-B
相似。

Answer 2

证明：
a、b相似，则存在可逆矩阵t，使得
a=t^{-1}bt
从而
det(a-λe)
=det(t^{-1}bt-λe)
=det(t^{-1}bt-λt^{-1}t)
=det(t^{-1}(b-λe)t)
=det(b-λe)
因此a、b有相同特征值，所以有相同特征多项式