极限证明，N的取值用不用+1？

Question

按照书上说，比如要证明n→无穷时(-1)^n/n的极限为0，要使n＞1/ε，这时候N取的是[1/ε] + 1，但是我看别的地方大多数没有这个+1。请问一下这个N的取值是分情况看要不要+1嘛？还是根本一道题就可以有多种取值，只要保证他是个正整数就行了？
还有一个就是有的地方N的取值直接就是[1/ε]，但这个时候ε取得不是任意＞0的数嘛，那当ε＞1的时候[1/ε]不就是0了？这时候N就不是正整数了呀？

Answer 1

这里是否+1，其实问题不大，因为一般的ε-N语言的写法是
对于任意的ε>0，存在N，对于任意的n>N，有|an-a|<ε
如果严格一点，一般N要是一个正整数。
但是不严格一点，N=0的话，也就是对于任意的正整数n，|an-a|<ε成立。
从这一点上来看，其实并不影响什么。
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另外正如你所说，N的取值有很多种，我们一般是去找一个最小满足条件的N，但是对于比这个最小值大的数，都是可以的。比如你的例子中的，取N=[1/ε] + 2或者[1/ε] + 100000都是可以的。