设函数f(x)可微且满足关系式：{积分符号从0到x }[2f(t)-1]=f(x)-1，求f(x)

Question

积分符号敲不上去，答案是f(x)=1/2 *(e^2x +1)

Answer 1

f(x)等于1/2 *(e^2x +1)。

解：因为∫(0,x)(2f(t)-1)dt=f(x)-1，

那么同时对等式两边求x的导数，可得，

2f(x)-1=f'(x)，

那么可以令y=f(x)，则f'(x)=y'，

则2f(x)-1=f'(x)可化简为2y-1=y'=dy/dx，

那么dy/(2y-1)=dx

解得ln|2y-1|=2(x+C)

则可解得y=f(x)=(e^(2x+2C)+1)/2。

又因为当x=0时，可得f(0)-1=0，即f(0)=1

那么f(0)=(e^(2C)+1)/2=1，可解得C=0，

那么f(x)=(e^2x +1)/2。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

参考资料来源：百度百科-微分方程

Answer 2

等式两边令x＝0得f(0)＝1
等式两边求导：2f(x)－1＝f'(x)
令y＝f(x)，则y'＝2y-1，此为一阶非齐次线性微分方程，套用通解公式可得通解y＝1/2＋Ce^(2x)。所以f(x)＝1/2＋Ce^(2x)，再由f(0)＝1得C＝1/2，所以f(x)＝1/2[1＋e^(2x)]本回答被提问者采纳

Answer 3

答案真的不是这个

Answer 4

用搜狗输入法特殊符号那里面有

Answer 5

错错错