体积相同，底面积相同，高度相同，什么形状的表面积最大啊（圆柱，梯形柱，菱形柱，椭圆柱、长方体！

Question

体积相同，高度相同，底面积相同，什么形状的表面积最大啊（圆柱，梯形柱，菱形柱，椭圆柱、长方体！ 有没有学数学的 能不能帮忙解释哈啊 最好有过程，小弟在此谢过了！

Answer 1

∵上下底面积相同，高相同
∴当底面周长最大时表面积最大

圆底面积S=πR^2，
底面周长L1=2πR=2π根号(S/π)=2根号(Sπ)

椭圆底面积S=πab底面周长
L2≈2π根号{(a^2+b^2)/2} ＞ 2π根号{(2ab)/2}= 2π根号(ab)=2根号(Sπ)

正方形底面积S=a^2
周长L3=4a=4根号S

长方形底面积S=ab
周长L4=2(a+b)＞2*2根号ab=4根号S

菱形底面积S=absinθ
底面周长L5=2(a+b)＞2*2根号ab=4根号(S/sinθ）＞4根号S

梯形底面积S=(a+b)h/2
底面周长L6 ＞ a+b+2h ≥ 2根号{(a+b)*2h}=2根号(4S)=4根号S

综上：
圆周长L1=2根号(Sπ)
椭圆周长L2＞2根号(Sπ) 【即圆周长L1 】
正方形周长L3=4根号S
长方形周长L4、菱形周长L5、梯形周长L6 ＞4根号S 【即正方形周长L3】

结论：体积相同，高度相同，底面积相同时
圆柱表面积最小；
椭圆表面积与底面是正方形的长方体表面积均大于圆面积；
底面是长方形的长方体，以及菱形柱，梯形柱的表面积大于底面是正方形的长方体表面积。追问

谢谢你哥们 你的最有价值，那我在给你个条件能 比比 长方体 菱形 梯形吗？ 条件是 菱形和梯形的两边夹角都大于45度 小于90度!

追答

长方体有底面正方形的长方体和底面长方形的长方体两种：
如果是底面为正方形的长方体，那么上面已经说过了，那就是梯形柱和菱形柱的周长都大于正方形柱的表面积。

如果比较菱形柱和梯形柱：
菱形底面积S=a^2sinθ
底面周长L=4a=4根号(S/sinθ）=4/根号(sinθ) * 根号S
45°＜θ＜90°
1＜1/根号(sinθ)＜四次根号2≈1.189
4根号S ＜ L ＜ 4.7568根号S

梯形底面积S=(a+b)h/2
底面周长L ＞ a+b+2h ≥ 2根号{(a+b)*2h}=2根号(4S)=4根号S
梯形仅有底面夹角好像还是得不到准确的周长范围~

追问

恩 我在给你条件 呵呵 我是这条件是看你算的情况 我想得到更接近的答案 而想到的 呵呵
就是 长方体 底面是长方形的哪种 他的短边范围为固定50mm到100mm，至于梯形的话，我想你给你上下底的比值范围看行不 就是下底比上底在大于3：1小于1：1你看行不，看能不能把 长方体 梯形 菱形 大小具体比出来 呵呵 谢谢
你太给力了 呵呵

追答

只知道长方形的短边范围为固定50mm到100mm，没告诉面积的具体值，得不到长宽比的范围；
两者还是没法做比较

追问

面积0.025m^2

Answer 2

底面积相同，那么侧面积最大的表面积就最大。
侧面积=底边周长*高
高度相同
所以底边周长最大的表面积最大，同时底面积又相等，
根据这几个选项（圆柱，梯形柱，菱形柱，椭圆柱、长方体）
它们的底面分别是（圆，梯形，菱形，椭圆形，长方形）

于是问题简化成为：
面积相等的情况下，哪个图形的周长最大。

如果问哪个最小的话可以得出结论是圆形。

但是哪个最大，这个就不一定了，要比较只能给出条件去计算。
后四个都有可能最大。

Answer 3

圆柱最小
正方体次之
长方体、棱形柱、梯形柱不要比较，要看具体的夹角

Answer 4

实际就是求侧面积大小 就是求 圆柱，梯形柱，菱形柱，椭圆柱、长方体 他们的底面积相同同谁的边长长.. 这个题就是：
在圆形 梯形 菱形 椭圆 长方形 等面积条件下 谁的周长最大？

Answer 5

菱形柱

Answer 6

圆柱体