高数，这道题怎么求解

Question

经典题型

Answer 1

求微分方程 y''-2y'=xe^3x的通解

解：齐次方程 y''-2y'=0的特征方程r²-2r=r(r-2)=0的根 r₁=0，r₂=2；

因此齐次方程的通解为：y=C₁+C₂e^(2x);

设其特解为：y*=(ax+b)e^(3x)；则y*'=ae^3x+3(ax+b)e^3x=(3ax+a+3b)e^3x;

y*''=3ae^3x+3(3ax+a+3b)e^3x=(9ax+6a+9b)e^3x;

代入原式并消去e^3x得：(9ax+6a+9b)-2(3ax+a+3b)=3ax+4a+3b=x

故3a=1，a=1/3;  4a+3b=(4/3)+3b=0，∴b=-4/9；  ∴特解：y*=[(x/3)-(4/9)]e^3x;

故原方程的通解为：y=C₁+C₂e^(2x)+[(x/3)-(4/9)]e^(3x);

Answer 2

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