初中数学题
如图，在长方形ABCD中BE=3，AB=2，BC=4，ABE与FAB相似，AF＜FD，AE与BF交于G，回答下列问题。
（1）求AF的长
（2）求ABG的面积
（3）过点E作EH平行于BF并与CD相交，通过三点EGH的圆上有一点I使得四边形EGHI面积最大，面积为S，EG为a，EH为b时，S即等于（a+b）平方/x。求x的值与S的值
第1个回答 2019-10-30
AF的长为3/4
第2个回答 2023-04-20
（1）因为 $\triangle ABE$ 与 $\triangle FAB$ 相似，所以有：
$$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AE}$$
即：
$$AF=\frac{AB^2}{AE}$$
又因为 $AB=2$，$AE=BG+BE=BG+3$，因此：
$$AF=\frac{4}{BG+3}$$
又因为 $AF<FD$，所以 $BG+3>BD=BC+CD=BC+AB=6$。因此，$BG>3$，所以 $AF=\frac{4}{BG+3}<\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
（2）因为 $\triangle ABE$ 与 $\triangle ABG$ 相似，所以有：
$$\frac{AB}{AE}=\frac{AG}{AB}$$
即：
$$AG=AB^2\div AE=4\div (BG+3)$$
因此，$\triangle ABG$ 的底边 $AB$ 的长度为 $2$，高为 $AG=\frac{4}{BG+3}$。因此，$\triangle ABG$ 的面积为：
$$S_{\triangle ABG}=\frac{1}{2}\times AB\times AG=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{4}{BG+3}=\frac{4}{BG+3}$$
（3）因为 $EH\parallel BF$，所以 $\triangle BEH$ 与 $\triangle BFA$ 相似，因此有：
$$\frac{EH}{BF}=\frac{HE+BE}{AF}$$
即：
$$EH=\frac{BF\times (HE+BE)}{AF}$$
又因为 $BE=3$，$AF=\frac{4}{BG+3}$，$BF=AB-AF=2-\frac{4}{BG+3}=\frac{2BG-2}{BG+3}$，因此：
$$EH=\frac{(2BG-2)(HE+3)}{4}$$
又因为 $EH\parallel CD$，所以 $\triangle EGH$ 与 $\triangle AGB$ 相似，因此有：
$$\frac{EH}{AG}=\frac{GH}{BG}$$
即：
$$GH=\frac{BG\times EH}{AG}=\frac{BG\times (2BG-2)(HE+3)}{4\times 4}=\frac{BG\times (BG-1)(HE+3)}{8}$$
又因为 $E,G,H,I$ 四点共圆，所以 $\angle EGI=\angle EHI$，因此 $GH=GI$。因此：
$$S_{EGHI}=S_{\triangle EGI}+S_{\triangle EGH}=\frac{1}{2}\times EG\times GI+\frac{1}{2}\times GH\times EH=\frac{1}{2}\times a\times b+\frac{1}{2}\times \frac{BG\times (BG-1)(HE+3)}{8}\times (HE+3)$$
化简得到：
$$S_{EGHI}=\frac{BG\times (BG-1)\times (HE+3)^2+a^2b}{16}$$
因此，$S_{EGHI}$ 最大时，$BG\times (BG-1)$ 最大。因为 $BG+3>6$，所以 $BG>3$。因此，$BG\times (BG-1)$ 最大时，$BG=4$。因此，$S_{EGHI}$ 最大时，$BG=4$，$HE=b=BG-3=1$，$a=EG$ 为 $\triangle AGB$ 的高，可以用相似三角形的比例计算得到：
$$\frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AE}$$
即：
$$AG=\frac{AB^2}{AE}=\frac{4}{BG+3}$$
因此，
$$EG=a=\frac{S_{\triangle AGB}}{AG}=\frac{S_{\triangle ABG}}{AG}=\frac{4}{BG+3}$$
因此，$S_{EGHI}$ 最大时，$a+b=\frac{4}{4+3}+1=\frac{11}{7}$，$S_{EGHI}=\frac{11^2}{7^2}\times 24=\frac{348}{7}$。因此，$x=7$，$S=\frac{(a+b)^2}{x}=\frac{11^2}{7}=\frac{121}{7}$。
$$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AE}$$
即：
$$AF=\frac{AB^2}{AE}$$
又因为 $AB=2$，$AE=BG+BE=BG+3$，因此：
$$AF=\frac{4}{BG+3}$$
又因为 $AF<FD$，所以 $BG+3>BD=BC+CD=BC+AB=6$。因此，$BG>3$，所以 $AF=\frac{4}{BG+3}<\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
（2）因为 $\triangle ABE$ 与 $\triangle ABG$ 相似，所以有：
$$\frac{AB}{AE}=\frac{AG}{AB}$$
即：
$$AG=AB^2\div AE=4\div (BG+3)$$
因此，$\triangle ABG$ 的底边 $AB$ 的长度为 $2$，高为 $AG=\frac{4}{BG+3}$。因此，$\triangle ABG$ 的面积为：
$$S_{\triangle ABG}=\frac{1}{2}\times AB\times AG=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{4}{BG+3}=\frac{4}{BG+3}$$
（3）因为 $EH\parallel BF$，所以 $\triangle BEH$ 与 $\triangle BFA$ 相似，因此有：
$$\frac{EH}{BF}=\frac{HE+BE}{AF}$$
即：
$$EH=\frac{BF\times (HE+BE)}{AF}$$
又因为 $BE=3$，$AF=\frac{4}{BG+3}$，$BF=AB-AF=2-\frac{4}{BG+3}=\frac{2BG-2}{BG+3}$，因此：
$$EH=\frac{(2BG-2)(HE+3)}{4}$$
又因为 $EH\parallel CD$，所以 $\triangle EGH$ 与 $\triangle AGB$ 相似，因此有：
$$\frac{EH}{AG}=\frac{GH}{BG}$$
即：
$$GH=\frac{BG\times EH}{AG}=\frac{BG\times (2BG-2)(HE+3)}{4\times 4}=\frac{BG\times (BG-1)(HE+3)}{8}$$
又因为 $E,G,H,I$ 四点共圆，所以 $\angle EGI=\angle EHI$，因此 $GH=GI$。因此：
$$S_{EGHI}=S_{\triangle EGI}+S_{\triangle EGH}=\frac{1}{2}\times EG\times GI+\frac{1}{2}\times GH\times EH=\frac{1}{2}\times a\times b+\frac{1}{2}\times \frac{BG\times (BG-1)(HE+3)}{8}\times (HE+3)$$
化简得到：
$$S_{EGHI}=\frac{BG\times (BG-1)\times (HE+3)^2+a^2b}{16}$$
因此，$S_{EGHI}$ 最大时，$BG\times (BG-1)$ 最大。因为 $BG+3>6$，所以 $BG>3$。因此，$BG\times (BG-1)$ 最大时，$BG=4$。因此，$S_{EGHI}$ 最大时，$BG=4$，$HE=b=BG-3=1$，$a=EG$ 为 $\triangle AGB$ 的高，可以用相似三角形的比例计算得到：
$$\frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AE}$$
即：
$$AG=\frac{AB^2}{AE}=\frac{4}{BG+3}$$
因此，
$$EG=a=\frac{S_{\triangle AGB}}{AG}=\frac{S_{\triangle ABG}}{AG}=\frac{4}{BG+3}$$
因此，$S_{EGHI}$ 最大时，$a+b=\frac{4}{4+3}+1=\frac{11}{7}$，$S_{EGHI}=\frac{11^2}{7^2}\times 24=\frac{348}{7}$。因此，$x=7$，$S=\frac{(a+b)^2}{x}=\frac{11^2}{7}=\frac{121}{7}$。
第3个回答 2022-06-30
在长方形ABCD中BE=3，AB=2，BC=4，ABE与FAB相似，AF＜FD，AE与BF交于G，回答下列问题。（1）求AF的长（2）求ABG的面积（3）过点E作EH平行于BF并与CD相交，通过三点EGH的圆上有一点I使得四边形EGHI面积最大，面积为S，EG为a，EH为b时，S即等于（a+b）平方/x。求x的值与S的值。
第4个回答 2021-01-03
图，在长bai方形ABCD中BE=3，AB=2，BC=4，ABE与duFAB相似，AF＜FD，AE与BF交于G，回zhi答下列问题。（1）求daozhuanAF的长（2）求ABG的面积（3）过点E作shuEH平行于BF并与CD相交，通过三点EGH的圆上有一点I使得四边形EGHI面积最大，面积为S，EG为a，EH为b时，S即等于（a+b）平方/x。求x的值与S的值
第5个回答 2020-08-29
