小波包双尺度函数的数学表达

Question

如题所述

Answer 1

小波包（WP）是由Coifman et al.在小波变换的基础上提出的。小波包变换不仅对低频分量进行分解，而且对高频部分提供更精细的分解，能够更为精确地确定信号所包含的频率成分，是一种更广泛的小波分解方法（孙煜等，2005；王云松等，2005）。

4.1.2.1 小波包变换的数学定义

小波包分解是建立在多分辨率分析的基础上。在多分辨率的小波分析中，平方可积空间 表明其小波分析是按照不同的尺度因子j把L²（R）分解为所有子空间W_j（j∈Z）的正交和。其中Wj为小波函数ψ（t）的闭包（小波子空间）。进一步对小波子空间W_j按照二进制进行频率细分可达到提高频率分辨率的目的。一种自然做法是将尺度空间V_j和小波子空间Wj用一个新的子空间 统一起来表征（杨超等，2004），令

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，j∈Z，则正交分解V_j＋1＝V_j⊕W_j，即 得统一分解为

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定义子空间 是函数μn（t）的闭包子空间，而 是函数μ_2n（t）的闭包子空间，定义下面的递推子关系，并令μ_n（t）满足递推子关系的双尺度方程（Coifman et al.，1992；孙煜等，2005；王云松等，2005）：

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式中：递归定义的函数μ_n（n＝1，2，…）称为由正交尺度函数μ₀（t）＝ψ（t）确定的小波包。其中，h_k、g_k、（k∈Z）分别称为低通滤波系数和高通滤波系数。g_k＝（－1）^kh_1－k，即两系数也具有正交关系。而当n＝0时，μ₀（t）＝ψ（t），μ₁（t）＝ψ（t），由上式得到：

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式中：μ₀（t）和μ₁（t）分别为尺度函数和小波函数的双尺度方程。显然μ₀（t）和μ₁（t）分别退化为尺度函数ψ（t）和小波基函数ψ（t）。序列 ｛μ_n（t）｝（n∈Z_＋）称为由正交尺度函数μ₀（t）＝ψ（t）确定的小波包，或称序列 ｛μ_n（t）｝为关于序列｛h_k｝的正交小波包。

对任意非负整数n∈Z_＋和任一整数j∈Z，令 表示由小波包μ_n的二进伸缩和平移的线性组合合成的L²（R）的闭子空间，则：

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式中：｛V_j｝是由尺度函数U₀＝ψ生成的L²（R）的多分辨分析；｛W_j｝是由小波U₁＝ψ生成的正交小波子空间序列。

4.1.2.2 小波包的空间分解与重构算法

根据尺度函数μ₀（t）＝ψ（t）和小波函数μ₁（t）＝ψ（t），利用式（4.2）、式（4.3）可得到如下空间分解：

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令 ｛μ_n（t）｝_n∈z是关于低通滤波系数h_k的小波包族，用下式生成子空间族。令n＝1，2，…；j＝1，2，…，并对上式作迭代分解，得W_j的分解（图4.2），有：

图4.2 小波空间的小波包子空间完全分解示意图

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在实际应用中，通常关心的是L²（R）的某个子空间 的小波分解和小波包分解（Wu Yet al.，1996）。小波包分解有如图4.2的分解关系。 可以有不同的分解，对应的V_L中的信号f（t）∈V_L可以用不同的基的组合来表示，通常以信息代价函数为标准，选取该信号的最优表示。信息代价函数有不同的定义，但它必须能反映出将信号（或函数）在这组基下展开时所需要的计算量和存储量等花费。

记信号f（t）在子空间 上的小波包系数分别为 且l²为L²（R）的平方可积离散序列空间，则由小波包的定义及式（4.6）可得如下的小波包快速分解与重构算法。小波包分解算法：

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在对高光谱影像进行小波包分解以及对影像分解系数进行处理之后，就要恢复成处理结果的图像。小波包变换的重构运算就是小波包分解的逆运算，是将处理后频率域内的系数重新合成时域图像。小波包重构算法：

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式中：h_k－2l，g_k－2l分别称为低通滤波系数和高通滤波系数。