线性代数 正交变换 化为标准型问题

Question

请问它是如何判断出 λ1 和 λ2 λ3 分别是什么的 还是λ1和λ2 λ3本身是可以换顺序的？ 我的意思是为什么λ1是3而不是-1 或4
其次 取正交变换x=Py 那个过程 是用PAP^-1来算出λ的么？ 其实也就是上一个问题 是如何确定的
以及 答案形式不一样 还有其他什么答案么 是顺序改变么

Answer 1

1、λ1，λ2，λ3 分别取值 3，-1，4
λ1可以是-1或4 。
这里要注意λ1取值不同，后面的计算特征向量ξ 1 就不一样了。

2、在正交变换下，A不仅和B合同，而且与B相似，即A，B特征值相同。
PTAP=B，AB合同， P-1AP=B，AB相似。
【评注】
掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，标准型中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值，所用的正交变换矩阵是经过改造的二次型的特征向量，具体解题步骤如下：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值
3、求矩阵A的特征向量
4、改造特征向量（单位化、Schmidt正交化）γ1，...，γn
5、构造正交矩阵P=（γ1，γ2，...，γn）
则经过坐标变换x=Py，得
xTAx=yTBy = λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
【注意】
特征值的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量的顺序是一致的。

回答你的问题，当λ1，λ2，λ3取不同的值时，对应的特征向量ξ1，ξ2，ξ3就不同
得到的（ξ1，ξ2，ξ3）就不同，
例如 特征值3对应a特征向量，-1对应b，4对应c
如果λ1λ2λ3为 3 -1 4 特征向量就是（ξ1，ξ2，ξ3）=（a，b，c）
如果λ1λ2λ3为 4 3 -1 特征向量就是（ξ1，ξ2，ξ3）=（c，a，b）
那么经过改造得到的矩阵P也就不同，即向量位置顺序不同，所以P不唯一。

newmanhero 2015年2月1日11:16:04

希望对你有所帮助，望采纳。