y=f(x)是偶函数，y=f(x+1)是奇函数, 那么这个函数一定是周期为2的周期函数。

Question

为什么

Answer 1

必然不是……f(x)一定是周期为4的函数吧……
举例：令f(x)=cos(πx/2)（满足偶函数），则f(x+1)=cos(πx/2+π/2)=-sin(πx/2)（满足奇函数）
而f(x)的周期是4
由题知，f(-x)=f(x)，f(-x+1)=-f(x+1)
∴f(-x+1)=f(x-1)=-f(x+1)=-f[(x+2)-1]=-f[-(x+2)+1]=f[(x+2)+1]=f(x+3)
即f(x-1)=f(x+3)
∴f(x)的周期为4

Answer 2

f(-x)=f(x) f(-x+1)=-f(x+1)
f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f[-(x+1)+1]=-f(-x)=f(x)
所以这个函数一定是周期为2的周期函数

Answer 3

奇:f(-x 1)=-f(x 1)令x=x 1f(-x)=-f(x 2)因为f(-x)=f(x)f(x)=-f(x 2)