函数y=f（x-1）为奇函数，y=f（x+1）为偶函数（定义域均为R）若0≤x＜1时：f（x）=2^x，则f（10）=？

Question

如题所述

Answer 1

y=f(x-1)为奇函数 即 f(x-1)的图像关于（0，0）对称；
从而f(x)的图像关于（-1，0）对称；
y=f(x+1)为偶函数 即 f(x+1)的图像关于y轴对称，
所以f(x)的图像关于直线x=1对称；
对称轴x=1到对称中心(-1,0)的距离是2;
所以f(x) 是周期为2×4=8的周期函数；
所以f(10)=f(8+2)= f(2)=f(0)=1.
注意结论：若函数f(x)的图像有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)一定是周期函数；
一个周期为T=2|a-b|;
若函数f(x)图像有两个对称中心（a,0),(b,0),则f(x)一定是周期函数；
且一个周期为T=2|b-a|;
若f(x)图像有一条对称轴：x=a和一个对称中心（b,0),则f(x)一定是周期函数；
且一个周期为T=4|a-b|;
你联系函数y=sinx来理解记忆很好用的；

Answer 2

y=f(x-1)为奇函数 即 f(-x-1)=-f(x-1) f(x-1) =-f(-x-1)
y=f(x+1)为偶函数 即 f(-x+1)=f(x+1)
f(10)=f(9+1)= f(-9+1)= f(-8)= f(-7-1)=-f(7-1)=f(6)
同理f(6)=f(2) 所以f(10)=f(2)
f(2)=f(-1+1)= f(0)=2^0=1

所以f(10)=f(2)=1