大一高数题微分方程

Question

大一高数题微分方程求解题过程

Answer 1

首先验证 x²-xy+y²=C是常微分方程 (x-2y)y'=2x-y的通解，然后求出满足y(0)=1的特解。
解：设u= x²-xy+y²=C.........①；由于du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=(2x-y)dx-(x-2y)dy=0
故得 (x-2y)(dy/dx)=2x-y，即(x-2y)y'=2x-y；故①是 (x-2y)y'=2x-y的通解。
将x=0，y=1代入①式得：C=1；故特解为：x²-xy+y²=1.