以三角形ABC为等边三角形，D,F分别是BC,AB上的点，

Question

以三角形ABC为等边三角形，D,F分别是BC,AB上的点，且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE。1.求证：四边形EFCD为平行四边形；2.D在线段BC上何处时，四边形CDEF仍为平行四边形，且∠DEF=30°，证明你的结论。

Answer 1

解：（1）△ACD≌△CBF
证：∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∠ACD=∠B=60°
∵CD=BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）
（2）当点D是BC中点时,四边形CDEF为平行四边形且∠DEF=30°
∵△ACD≌△CBF
∴∠DAC=∠BCF，CF=AD
∵△AED是等边三角形
∴AD=DE
∴CF=DE①
∴∠ACG+∠BCF=60°
∴∠ACG+∠DAC=60°
∴∠AGC=180°-（∠ACG+∠DAC）=120°
∴∠DGF=∠AGC=120°
∵△AED是等边三角形
∴∠ADE=60°
∴∠DGF+∠ADE=180°
∴CF∥DE②
综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．
∵AC=BC，
当点D是BC中点时，BF=CD=1/ 2 BC=1/ 2 AB，
∴CF为AB边上的中线，CF平分∠ACB，
∴∠DEF=1/ 2 ∠ACB=30°．
望采纳，谢谢

Answer 2

（1）∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∠ACD=∠B=∠CAB=60°
∵CD=BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）
∴AD=CF
∴∠CAD=∠BCF……（1)
∵△ADE是等边三角形
∴AD=DE=AE=CF，即CF=DE
∠DAE=∠AED=60°
∴∠AED=∠ABD=60°
∵∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠BAE=60°
∴∠CAD=∠BAE……（2）
设AB交DE于O
∵∠AOE=∠DOB
∴∠BAE=∠ODB(两个三角形中有两组对应角相等，第三组对应角也相等）……（3）
∴∠ODB=∠BCF……（4）
∴CF∥DE
∴四边形EFCD为平行四边形
2、∵四边形EFCD为平行四边形
∴∠DEF=∠FCD=∠FCB=30°
∵∠ACB=60°
∴∠ACF=∠BCF=30°
∴CF是△ABC底边AB的中线、高
即AF=BF
∵BF=CD，AB=BC
∴CD=BD
即D是BC的中点