1)证明曲线积分与线路无关 2）求曲线积分值 （3,4）是二重积分上限 （1,2）是积分下限。

Question

已知曲线积分∫∫（3,4）（1,2）（6xy^2-y^3)dx+(6yx^2)-3xy^2)dy

Answer 1

设P=6xy^2-y^3，Q=6yx^2)-3xy^2，
∂P/∂y=12xy-3y^2,
∂Q/∂x=12xy-3y^2,
∂P/∂y=∂Q/∂x,
故曲线积分与路径无关，只与起讫点有关，
设C1(AB)从A（1，2）至B（3，2），1≤x≤3,y=2,dy=0,
C2(BD)从B（3，2）至D（3,4),2≤y≤4,x=3,dx=0
原式=∫[1，3]（6x*2^2-2^3)dx+0+0+∫[2，4]（6y*3^2-3*3y^2)dy
=∫[1，3](24x-8)dx+∫[2,4](54y-9y^2)dy
=8(3x^2/2-x)[1,3]+(27y^2-3y^3)[2,4]
=80+156
=236.