已知一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9/8底面周长为3，那么这个球的体积为多少？

Question

如题所述

Answer 1

如图是经过底面最长对角线的正六棱柱的截面，
设正六棱柱上、下底面中心分别为O₁、O₂，
则球心O必定在OO₁的中点，根据题意得底面正六边形的边长为

1/6 × 3 = 1/2，

所以底面积 S

= 6 × √3/4 x (1/2)²

= (3√3)/8

∵该正六棱柱的体积为V

= Sh

= [(3√3)/8] x h

= 9/8，

∴正六棱柱的高 h

= (9/8)/[(3√3)/8]

= √3，

得O至O₁ = √3/2

所以Rt△AOO₁中，AO

=√[(OO₁)²+(AO₁)²]    

=1，即外接球的半径R=1

∴正六棱柱的外接球的体积V球

= 4π/3 × R³ 

= 4π/3

结论，球的体积是 4π/3

蒙采纳~~

Answer 2

正六棱柱的底面是正六边形，周长为3，边长为1/2,面积=6*√3/4*（1/2）^2=3√3/8，
设正六棱柱的高为h,则正六棱柱的体积=3√3h/8=9/8,∴h=√3，
正六棱柱的外接球的直径=√[(底面直径)^2+h^2]=√(1+3)=2,
∴正六棱柱的外接球的体积=4π/3.