二次函数（quadratic
function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的
抛物线。 在
平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有
1本身图像，旁边注明函数。
2画出
对称轴，并注明直线X=什么
（X=
-b/2a）
3与X轴交点坐标
（x1,y1);(x2,
y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，
顶点坐标(-b/2a,
(4ac-b^2/4a).
轴对称
1.二次函数图像是
轴对称图形。对称轴为直线x
=
h或者x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）
a,b同号，对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P
(
h,k
)
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为
顶点式y=a(x-h)^2;+k
h=-b/2a
k=(4ac-b^2)/4a
开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-
b/2a<0,所以
b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-
b/2a>0,
所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0
），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于（0,C）
注意：顶点坐标为（h,k)
与y轴交于（0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
6.二次函数图像与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。
a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点
_______
当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在x<h范围内是
减函数，在
x>h范围内是
增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向
上，函数的
值域是y>k
当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymix=k，在x>h范围内事增函数，在
x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下
，函数的值域是y<k
当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是
偶函数