怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式？

Question

如题所述

Answer 1

1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

证明过程如下：

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+.+n^2

=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

前后消项：

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+.+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

常用证明方法：

1、综合法。综合法是一种从题设到结论的逻辑推理方法，也就是由因导果的证明方法。

2、分析法。分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。分析法的证明路径与综合法恰恰相反。

3、反证法。由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。

反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：

1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。

2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。

Answer 2

证明：

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

n^3-1^3

=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料

立方差公式：

证明方法：

遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a2，同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合，所以很容易想到a2b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a2b项，得到下式，同时进行相应的合并。

n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数，后面括号中各项式的幂之和都为n-1，an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)

解题时常用它的变形：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)

相应的，立方差公式也有变形：a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
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Answer 5

证明：
n=1时，n+1=2
(2^1)*1=2，等式成立。
假设当n=k(k为自然数，且k>=1)时等式成立。
即
(k+1)(k+2)...(k+k)=(2^k)*1*3*...*(2k-1)
则当n=k+1时，
(k+1+1)(k+1+2)...(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+1)(2k+2)
=(k+1)(k+2)...(k+k)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=(k+1)(k+2)...(k+k)(2k+1)2
=(2^k)*1*3*...*(2k-1)*(2k+1)*2
=[2^(k+1)]*1*3*...*[2(k+1)-1]
等式也成立。
综上，(n+1)(n+2)(n+3)+.......+(n+n)=(2^n)*1*3*.....(2n-1)
等式成立。