等差数列知识点详细分析

Question

如题所述

Answer 1

1、定义：从第二项起，每一项与前一项的差为常数，则{an}为等差数列，即满足：an+1-an=d（常数）。

2、 2an=（an-1）+（an+1）（n≥2，n∈N+）

3、通项公式：1） an=a1 +（n-1）d=ak +（n-k）d

                       2）推广：an=am+（n－m）d.

详见图片：

Answer 2

　　等差数列通项公式
　　如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：
　　an=a1+(n-1)*d

　　求和公式
　　若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：
　　S=（a1+an）n÷2
　　即（首项+末项）×项数÷2

　　前n项和公式
　　注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）
　　等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：
　　上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。
　　即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2。

　　推论
　　一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
　　二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
　　=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}
　　三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=
　　(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。
　　若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)
　　(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)
　　p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p
　　(q))
　　四.其他推论
　　① 和=（首项+末项）×项数÷2
　　(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2
　　(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))
　　证明原理见高斯算法
　　项数=（末项-首项）÷公差+1
　　(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
　　② 首项=2x和÷项数-首项或末项-公差×（项数-1）
　　③ 末项=2x和÷项数-首项
　　(以上2项为第一个推论的转换)
　　④ 末项=首项+（项数-1）×公差
　　(上一项为第二个推论的转换)
　　推论3证明
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)
　　+a(q)
　　如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d
　　=2*a(1)+(m+n-2)*d
　　同理得，
　　a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d
　　又因为
　　m+n=p+q ;
　　a(1),d均为常数
　　所以
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
　　若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)
　　注：1.常数列不一定成立
　　2.m,p,q,n属于自然数
　　⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和

　　等差中项
　　等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项.
　　等差数列中，等差中项一般设为A(r).当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。
　　A(m)+A(n)=2×A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且
　　为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r。
　　且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明
　　它可以看作等差数列广义的通项公式。
　　等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
　　若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n.则a(m+n)=0。